マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年2日目第1問・第2問】

指数関数と対数関数数と式入試問題

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今週は東京女子大学の2020年の問題です。

今回は文系学部2日目第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数と整式の余りの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)指数関数の性質として $2^{x}\gt 0$ があります。

したがって、 $2^{x}=t$ とおくと、[t\gt 0]となります。

この置き換えにより、 $y$ を $t$ の式で表すと

$y=t^{3}-4t^{2}-3t+9$

となります。ここで得られた関数は3次関数ですので、最大値および最小値を求めるには微分して導関数を求めておく必要があります。

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=3t^{2}-8t-3=(3t+1)(t-3)$

ですので、関数 $y$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c}\hline t&0&\cdots &3&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{dy}{dt}&\ &-&0&+&\ \\ \hline y&9&\searrow &-9&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、 $y$ の最小値は $y=3$ のとき $-9$ をとります。

(2)3次以上の多項式を3次式で割った余りは2次以下になりますので、 $P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割った余りを $ax^{2}+bx+c$ とおきます。

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割った余りが $11x-11$ であることから $P(2)=11,\ P(3)=22$ ですので

$4a+2b+c=11$ …①

$9a+3b+c=22$ …②

が得られます。さらに、 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $6$ ですので、剰余の定理より $P(1)=6$ したがって、

$a+b+c=6$ …③

が得られます。①、②、③の連立方程式を解くと $a=3,\ b=-4,\ c=7$ となります。

いかがだったでしょうか？

第1問は指数関数の最小値を求める問題でしたが、微分の導関数に関する知識を要する問題でしたので、難しいかもしれませんが、入試問題ではよく出題される問題です。

第2問は剰余の定理に関する問題でした。この問題は基礎的な問題で、4STEPなどのような教科書用問題集のB問題で出題されそうな問題です。

いずれも用いている内容は基礎問題で出てくるようなところになりますので、そこまで難しい問題ではなさそうです。

　

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