マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

漸化式の問題ver.20220623

数列教員採用試験の過去問

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験特有の問題です。

今回は令和2年実施の東京都教員採用試験の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

普通に解く分にはそこまで難しくはないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式を導いて数列の一般項を求める問題です。

基本的な考え方は、直線が $n$ 本のときと直線が $n+1$ 本のときの違いを探る、ということです。

「もう1本引いたらどうなるか？」という発想です。

T教諭が出題した問題の解答としては、

条件を満たすように $n$ 本の直線が引かれているところに、もう1本直線を引くと、その直線は他の $n$ 本の直線と交わるので、交点の個数は $n$ 個増加する。したがって

$a_{n+1}=a_{n}+n$

という関係式が成り立つ。 $a_{1}=0$ で、 $a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$ とおくと、数列 $\{ b_{n}\}$ は数列 $\{ b_{n}\}$ の階差数列であるので、 $n\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k$

$\displaystyle =\frac{1}{2}n(n-1)$

これは $n=1$ のときも成り立つ。よって $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}n(n-1)$

別の考え方としては、直線の交点は直線2本を選べば1個存在するので、交点の総数は $n$ 本の直線のうち2本を選ぶということで $_{n}C_{2}$ であることが言えます。

これが最後にT教諭が補足としてまとめた部分です。

いかがだったでしょうか？

慣れていれば簡単な問題でしたが、受験生であれば解けてほしい問題だと思います。

教えるという視点になるとどのようにしたら理解が得られるか？までを考えないといけないので難しいところかもしれません。

数学の問題1つですが、受験生目線と教師目線で角度を変えて解いてみるのも面白いかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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