マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

ベクトルの問題ver.20220611

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は岩手県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件式をうまく使って解く問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)条件式から内積の値を求めます。

$\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}$ の大きさが与えられていますので、これを使って求めていきますが、条件式を変形すると

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}$

となりますので、

$|\overrightarrow{OB}|^{2}+2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OC}|^{2}=4|\overrightarrow{OA}|$

から内積の値を求めます。

(2) $OB$ の長さと $OC$ の長さが与えられていますので、あとは $\angle BOC$ の大きさか正弦の値がわかれば $\triangle OBC$ の面積を求めることができます。

(1)で内積 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$ の値を求めていますので、この値を使って $\sin{\angle BOC}$ の値を求めます。

内積から導き出される値は $\sin{\angle BOC}$ の値ですが、三角関数の相互関係から $\sin{\angle BOC}$ の値を求めます。

(3)条件式を変形すると、(1)から

$-4\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ですが、始点を $A$ にして変形すると

$\displaystyle \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)$

となりますので、点 $O$ は線分 $BC$ の中点を $M$ とするとき、線分 $AM$ の中点になります。

(4)(1)と同様に $\triangle OAB$ と $\triangle OCA$ の面積を求めれば $\triangle ABC=\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA$ ですので $\triangle ABC$ の面積が求められます。

いかがだったでしょうか？

条件式がキーポイントになる問題でした。

数学の問題で与えられる情報は必要最低限ですので、何のために条件が与えられているかを考えることが大切です。

今回の問題はベクトルの大きさが与えられているので、マジで助かります。

　

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