マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

ベクトルの問題ver.20220612

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は神戸市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

空間座標の4点を頂点とする四面体の体積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)点に座標が与えられている場合は、ベクトルは成分表示で表します。

 A(0,1,4) B(-1,3,3) C(2,6,0)ですので、

 \overrightarrow{AB}=(-1,2,-1),\ \overrightarrow{AC}=(2,5,-4)となります。

成分表示によるベクトルの内積の求め方は、各成分の積の和ですので、 \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2+10+4=12になります。

 \cos{\angle BAC}の値は、内積とベクトルの大きさを求めることで導き出すことができます。

(2) \sin{\angle BAC}の値がわかれば \triangle ABCの面積を求めることができますが、(1)で \cos{\angle BAC}を求めましたので、三角関数の相互関係から \sin{\angle BAC}の値を導くことができます。

(3)点 H \triangle ABCと同じ平面上にありますので、 \overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}と表現することができます。

 \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}ですが、 OH ABかつ OH ACであることを手がかりに t sの値を求めると点 Hの座標が求められます。

(4)ここまでこれば、もうすぐゴールです。

 \displaystyle V=\frac{1}{3}\times \triangle ABC\times |\overrightarrow{OH}|

で四面体の体積を求めます。

いかがだったでしょうか?

四面体の問題といえばコレって感じの問題ではないでしょうか。

大学入試でもよく出る問題ですので解けておけるべき問題かと思います。

四面体の問題の最後が「体積を求めよ」だと「あぁ、またか」と感じるのは気のせいでしょうか?

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper