ベクトルの問題ver.20220610 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は山形県教員採用試験で出題された問題です。

難易度は☆☆☆です。

頻出の交点の位置ベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

(1)点 $C$ は辺 $AB$ の中点になりますので $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ です。

点 $D$ は線分 $OC$ を $2:1$ に内分する点ですので

$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

となります。また、点 $D$ は線分 $PQ$ 上にもありますので

$\displaystyle \overrightarrow{OD}=kt\overrightarrow{OA}+l(1-t)\overrightarrow{OB}$

と表すことができます。ベクトルの表し方はただ1通りですので

$\displaystyle kt=\frac{1}{3}$ かつ $\displaystyle l(1-t)=\frac{1}{3}$ が成り立ちます。

この2式から $\displaystyle \frac{1}{3k}+\frac{1}{3l}=1$ がいえますので $\displaystyle \frac{1}{k}+\frac{1}{l}=3$ …①であることがわかります。

(2)余弦定理を用いると $\displaystyle \cos{\angle AOB}=\frac{1}{2}$ ですので、 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$ となります。

$PQ$ と $OA$ が垂直であることより $-4K+3l=0$ …②が導かれますので、①と②の連立方程式を解いて $\displaystyle k=\frac{7}{12},l=\frac{7}{9}$ となります。

ベクトルの表し方が1通りであることと垂直な2つのベクトルの内積が0であることがポイントです。

前半は関係式をうまく使わないと難しいかもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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