マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

教員採用試験問題集のチェックテスト【ベクトル】

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験の問題集に載っているチェックテストの問題です。

今回はベクトルの問題です。

今回の問題の原文

1. $O$ を頂点とし、正方形 $ABCD$ を底面とする四角錐 $O-ABCD$ において、 $AB=OA=OB=OC=1$ 、辺 $CD$ を $4:5$ に内分する点を $P$ 、 $P$ から平面 $OAB$ に引いた垂線と平面 $OAB$ との交点を $Q$ とする。また、 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b},\ \overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とする。次の各問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ で表せ。

(2) $\overrightarrow{PQ}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ で表せ。

　

2. $z=\cos{240^{\circ }}+i\sin{240^{\circ}}$ について、 $z=z^{n}$ をみたす自然数 $n\ (1\leqq n\leqq 8)$ をすべて求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

空間ベクトルの問題とド・モアブルの定理に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) $\overrightarrow{OD}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ であることに注意すると、点 $P$ が辺 $CD$ を $4:5$ に内分する点であるので

$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{5\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD}}{4+5}$

$\displaystyle =\frac{4}{9}\vec{a}-\frac{4}{9}\vec{b}+\vec{c}$

となります。また、点 $Q$ は平面 $OAB$ 上にありますので、 $\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}$ と表すことができます。四角錐 $O-ABCD$ の形状から

$\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{1}{2},\ \vec{c}\cdot \vec{a}=0$

です。点 $Q$ の取り方から $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0,\ \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ となります。この条件から $t$ と $s$ の連立方程式を作ると

$\begin{array}{ccc} 2t+s&=&\displaystyle \frac{4}{9}\\ t+2s&=&\displaystyle \frac{5}{9} \end{array}$

となります。この連立方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{1}{9},\ s=\frac{2}{9}$ となりますので

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}$

となります。

　

(2) $z=\cos{\theta }+i\sin{\theta }$ とすると、ド・モアブルの定理より $z^{n}=\cos{n\theta }+i\sin{n\theta }$ となります。この定理を用いると $n=1,\ 4,\ 7$ のとき $z=z^{n}$ をみたします。

いかがだったでしょうか？

ベクトルの問題については、大学入試でも同様の問題が出題される可能性があります。

基本は $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$ です。

これを使えばベクトルの問題は容易く解くことができるかと思います。

　

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