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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は図形と方程式の入試問題です。
今回の問題は2018年滋賀大学で出題された問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
不等式を満たす領域を図示すると、aの値を場合分けして考える必要があることがわかります。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
不等式を満たす領域を図示してみると、次のようになります。
1枚目はのときで、不等式を満たす領域は青い部分で影がついていない部分でかつ境界線上の点を含みます。
2枚目はのときで、不等式を満たす領域は青い部分で影がついていない部分でかつ境界線上の点を含みます。
2枚の図の影の境目をx=-1のラインから右に動かしてみます。
そうすると、不等式を満たす領域が変わってきますが、(1)は青い部分で影がついていない部分の一番上のy座標が求めるものです。
影を右に動かしていくと、「一番上」のところがx=0を境に変わるのがわかるかと思います。
この境目でaの値を場合分けして考えます。
(2)はとおくと、
となりますので、この直線が2つの不等式を満たす領域の点を通るようなものを考えます。
が最大値をとる候補は、直線が円
に接するときです。
直線と円の交点のx座標を求めるときは2次方程式が出てくるので、その判別式の値が0となるkを探せば良いことになります。
kの値は2つ出るかと思いますが、そのうち大きい方が最大値です。
しかし、影の境目を右に動かしていくと、kの最大値も変わってきます。
その変わり目がkが最大になるときの直線と円の交点のx座標になります。
いかがだったでしょうか？
領域を使った最大・最小問題は直線で囲まれた部分の領域を使いことが多いですが、今回の問題の場合は円が絡んでいるので難易度が上がります。
最大値、最小値を取るような状況を検討しておくと見つけるのが容易いかもしれません。
一番良いのは問題を解いて経験を積んでいくことでしょうか。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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