図形と方程式の問題ver.20220315 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は図形と方程式の入試問題です。

今回の問題は2018年東北学院大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆です。

教科書に載っているような問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)線分OAの垂直二等分線はOAの中点を通り、OAと垂直に交わる直線です。

点 $(x_{1},y_{1})$ と $(x_{2},y_{2})$ の中点の座標は $\displaystyle (\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$ です。

また、2直線 $y=m_{1}x+b_{1}$ と $y=m_{2}x+b_{2}$ が垂直に交わる条件は $m_{1}m_{2}=-1$ です。

この2つのことを用いて直線の方程式を求めます。

OAの中点は $\displaystyle (1,\frac{3}{2})$ 、OAの傾きは $\displaystyle \frac{3}{2}$ なので、求める直線は点 $\displaystyle (1,\frac{3}{2})$ を通り、傾きが $\displaystyle -\frac{2}{3}$ の直線になります。

(2)求める円の方程式を

$x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0$

とおいて、通る点を元に $l,m,n$ の値を求めます。

通る3点から $l,m,n$ に関する連立方程式が出てきますので、それを解けば円の方程式を導き出すことができます。

いかがだったでしょうか？

直線の方程式、円の方程式の基本を問う問題でした。

「垂直二等分線」を「中点を通って、その線と垂直に交わる直線」と言い換えができるかどうかがポイントです。

言い換えをすることは結構重要だったりしますので、それができるように訓練を重ねておきたいところですね。

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