図形と方程式の問題ver.20220314 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は図形と方程式の入試問題です。

今回の問題は2018年奈良教育大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

2つの円が接する状況が2つあることに注意が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

円が接する状況は2つあります。

1つは2つの円が外で接している場合で、下の図の赤色の円と青色の円の状況になります。

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もう1つは片方の円の内部で接している場合です。

下の図は青い円の内部で赤い円が接している状況です。

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この2つの場合を考えて円の方程式を求めます。

赤い円の半径を $r_{1}$ 、青い円の半径を $r_{2}$ とし、この2つの円の中心の距離を $d$ とします。

2つの円が外で接している場合の条件は、 $r_{1}+r_{2}=d$ となります。

一方、片方の円の内部で接している場合の条件は、図の場合ですと青い円の方が半径が大きいので $r_{2}-r_{1}=d$ となります。

条件(2)で与えられている方程式を変形すると

$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1$

となりますので、この円は中心(-1,2)半径が1の円であることがわかります。

求める円の中心は、条件(1)から点(4,-3)なので、 $d=5\sqrt{2}$ になります。

したがって、 $r+1=\sqrt{2}$ もしくは $r-1=\sqrt{2}$ になるようなrが求める円の半径になります。

「円が接する」状況をすべて挙げられるかどうかが満点へのカギになる問題でした。

外で接する場合は思いつきますが、一方の円で接している場合が見落としがちです。

私がそうなので、見落とさないように気をつけていきたいですね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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