方程式と複素数の問題ver.20220310 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は方程式と複素数の入試問題です。

今回は2017年首都大学東京(東京都立大学)で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆☆です。

方程式の理論と三角関数の知識が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

2次方程式の解と係数の関係から

$\displaystyle 3(\sin{\theta }+\cos{\theta})=\frac{3k}{2}$

$\displaystyle (\sin{\theta }+2\cos{\theta })(2\sin{\theta }+\cos{\theta })=\frac{3k^{2}+8}{8}$

が成り立ちますので、ここから $\sin{\theta }+\cos{\theta }$ と $\sin{\theta }\cos{\theta }$ をkを用いて表します。

三角関数には隠れた条件 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ がありますので、この条件を使えばkの値を求めることができます。

問題文からkの値は正であることに注意してください。

kの値が求まると $\sin{\theta }+\cos{\theta }$ と $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値がわかりますので、これらの値から $\sin{\theta },\ \cos{\theta }$ を解とする2次方程式を立てて解きます。

$\theta$ の値の範囲に注意して $\sin{\theta }$ と $\cos{\theta }$ の値を決めます。

解く方針を組み立てるのはそこまで難しくはなかったです。

2次方程式の解と係数の関係をしっかり理解しておけば解ける問題です。

あとは三角関数の取り扱いに注意して解き進めれば難なくクリアできるかと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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