今週の問題ver.2022.09〜気をつけておきたい必要条件・十分条件〜

ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週の出来事

・入試がどんどん終わりつつあります。受験に臨まれた方々、お疲れ様でございました。そんな中、私がとある塾で3年間教えていた学生が受験だったのですが、見事！志望校に合格しました！自分事のように嬉しかったです。大学生になっても頑張ってほしいと思います！

・喉の不調でお休みをしていた大空スバルさんが復活しました！これも良いニュースですね！毎週土曜日の朝に雑談枠をやってるみたいですが、そこで復活！となったようです！彼女の話は聞いてて面白いですね。今後はババドナのお話とノエルちゃんがアヒージョのお話を見守りたいと思います。

【#生スバル】復活のおはすば！スバル：FREE TALK【ホロライブ/大空スバル】 - YouTube

・YouTube繋がりですが、ウラッキープラザの人が会社を辞めるそうです。独立をするために辞めるそうです。パチスロが好きなので見てたりしていましたが、面白い動画が多いです。あのキャラが良いですねー。

【ウラッキープラザ】当チャンネル終了のお知らせ - YouTube

今週の問題

さて、今回の問題はタイトルに掲げましたように必要条件と十分条件に関する問題です。センター試験では毎年のように出題されましたし、共通テストでも出題されていますので、是非習得したいものです。最後の2問は数学Ⅲの内容ですが、気をつけておくべき事柄ですので問題として入れました。

f:id:red-red-chopper:20220313035304j:plain

今回の問題で必要な知識

・必要条件と十分条件の判定の仕方

→ $P\Rightarrow Q$ が真であればPが十分条件、Qが必要条件になります。

・命題の真偽の判定

→真であれば証明、偽であれば反例を1つ挙げれば良いです。

問題の解説

今回の問題を使ってどのように必要条件・十分条件の判定を行えば良いかを考えてみます。

基本は条件PとQに対して、命題PならばQ( $P\Rightarrow Q$ )とその逆の命題QならばP( $Q\Rightarrow P$ )の真偽をチェックします。その命題が真であれば仮定の方に「十分条件」、結論の方に「必要条件」と名前を付けておきます。偽であればその命題は無視して次に進みます。まずは(1)の問題を使って解いてみようと思います。

(1)の問題

問題の方は $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ は $a+b+c=0$ であるための「ア」となっていますので、この「ア」に埋まるものを考えます。なので、2つの命題

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\Rightarrow a+b+c=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$

の真偽を調べる必要があります。真なら証明をします。命題 $a+b+c=0\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ については

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

と因数分解できるので、仮定より $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ であることが証明できます。よって、

$a+b+c=0\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$

は真となりますので、仮定の条件 $a+b+c=0$ に「十分条件」、結論の条件 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ に「必要条件」と名前を付けておきます。一方、

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\Rightarrow a+b+c=0$

の命題については反例があります。反例は

・仮定を満たすが結論を満たさないもの

を1つ見つけます。この命題の場合は $a=b=c=1$ は仮定の条件 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ を満たしますが、結論の条件 $a+b+c=0$ は満たしません。したがってこれが反例になりますので、この命題は偽であることがわかります。命題が偽であることが分かれば、その命題は無視して先に進みます。

２つの命題の真偽のチェックが終わったらまとめに入ります。今の状況は

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ という条件に「必要条件」という名前がついている。

$a+b+c=0$ という条件に「十分条件」という名前が付いている。

となっています。問題文の主語が $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ の方の条件になっていますので、こちらの条件に付いている名前を答えます。「必要条件」という名前が付いていますので、「ア」には「必要条件であるが十分条件ではない」の1番を答えます。

(2)の問題

(1)と同じように

$a=b=c\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0\Rightarrow a=b=c$

の２つの命題の真偽をチェックします。

$a=b=c$ ならば、これらの値をkとおくと

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=k^{2}+k^{2}+k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}=0$

となるので、命題 $a=b=c\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$ は真です。この命題が真なので、 $a=b=c$ に「十分条件」、 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$ に「必要条件」と名前を付けます。次にこの命題の逆を考えてみます。

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}$

と変形ができるので、 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$ ならば $a=b$ かつ $b=c$ かつ $c=a$ すなわち $a=b=c$ であることが証明できます。したがって $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0\Rightarrow a=b=c$ という命題が真であることがわかるので、 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$ に「十分条件」、 $a=b=c$ に「必要条件」と名前を付けます。ここまでのことをまとめると

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$ という条件に「必要条件」と「十分条件」という名前が付いている。

$a=b=c$ に「必要条件」と「十分条件」という名前が付いている。

問題文の主語が $a=b=c$ の方になっていますので、こちらの条件に付いている名前を答えます。「必要条件」と「十分条件」の両方の名前が付いているときは「必要十分条件」と答えます。したがって「イ」に入るのは「必要十分条件である」の0番です。

解き方のおさらい

(3)以降も同じような解き方で解くことができますので、是非チャレンジしてみてください。

・「PはQであるための何条件か？」問題の解き方

① $P\Rightarrow Q$ の真偽をチェックする。

真→Pに「十分条件」、Qに「必要条件」と名前を付ける。

偽→この命題を無視して次に進む。

② $Q\Rightarrow P$ の真偽をチェックする。

真→Qに「十分条件」、Pに「必要条件」と名前を付ける。

偽→この命題を無視して次に進む。

③問題文の主語を確認する。(この問題の場合はP)

Pに「十分条件」と「必要条件」の名前が付いている→「必要十分条件」と答える。

Pに「十分条件」だけ名前が付いている→「十分条件であるが必要条件ではない」と答える。

Pに「必要条件」だけ名前が付いている→「必要条件であるが十分条件ではない」と答える。

Pに「十分条件」、「必要条件」ともに名前が付いていない→「必要条件でも十分条件でもない」と答える。

数学ではこの必要条件・十分条件がとても重要です。特に定理を扱うときは(8)の問題や(9)の問題のように逆が成り立たないものもありますので、注意が必要になります。

o(･x･)/ｷｦﾂｹﾃﾈｰ

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。