図形と方程式の問題ver.20220319 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は図形と方程式の入試問題です。

今回の問題は2018年秋田大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

後半が少し難しいかもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

前半はよく出る問題です。

図示すると次のようになります。領域Dは一番濃い部分で境界線上の点を含みます。

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$x+2y$ の最小値を考えるには、直線 $x+2y=k$ が領域Dを通るときのkの最小値を考えます。

領域Dは三角形なので、最小値を取る候補はこの三角形の頂点を直線が通るときになります。

直線 $x+2y=k$ が領域Dの頂点を通るときはしたの図のようになります。赤い直線がkが最小になります。

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この赤い線のy切片が分かればkの値がわかります。

後半は円の方程式を中心の座標と半径がわかるように式変形します。

$(x+1)^{2}+y^{2}=k$

なので、中心の座標は(-1,0)半径が $\sqrt{k}$ の円であることがわかります。

この円上のすべての点が領域Dに含まれる条件は、3つの直線 $y=2,2x+y=-8,x-y=2$ と円の中心との距離のうち最小となるものが求めるべき円の半径となります。

円の中心の座標はわかっていますので、点と直線の距離の公式

$\displaystyle d=\frac{\mid ax_{0}+by_{0}+c\mid }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

を使って円の半径を求めます。

前半はよく出る問題だったので簡単でした。

後半は円の中心が固定されているので、円の半径を変えてみてどうなるかを考える必要がありました。

ただ、3つの直線のうち中心から一番近いものが思いつきませんでしたね…。

まだまだ経験不足です。(´Д` )

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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