ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！どんどん気温が下がって過ごしやすくなってきました。9月も後半戦に入っていきますが、受験シーズンがもうすぐというところまで来てしまいました。高校受験、大学受験ともにそろそろ過去問にも手を付けていきたいところですね。
さて、今回の問題は格子点を3頂点とする正三角形は存在するか？という問題です。こちらの問題を参考にしました。→点と直線の距離
今回の問題で必要な知識
・点と直線との距離
・背理法
→結論の否定を仮定して矛盾を導く
というわけで、格子点を3頂点にもつ正三角形が存在するかどうかを考えてみました。結論は「存在しない」です。それはどうしてか？という部分が今回の問題です。
前半部の座標から三角形の面積を求めることがヒントになっています。方針としては三角形の面積を求めるには「底辺の長さ」と「高さ」が必要ですが、この２つの底辺と高さの関係が垂直になっていることに注目します。この問題に関しては座標が与えられているので、座標から長さを出す必要があります。どこを底辺にすればいいかは解き手の自由ですので、計算しやすいOPを（OQでも良い）底辺に設定します。この底辺と残りの点の距離が高さになるのですが、残りの点にも座標が与えられているので、点と直線の距離の公式を使います。このようにして△OPQの面積を出すことができます。
後半部で格子点を3頂点とする正三角形が存在しないことを証明します。原点も格子点なので、前半部で使った△OPQを使います。正三角形の一つの角が60°であることから、√３が必ず出てきます。問題文のヒントを使うと矛盾が生じます。
正三角形だから3つの頂点の座標が整数であるようなものがありそうですが、この証明から存在しないということがわかりました。意外な結果ですね。逆に3つの格子点を頂点とする三角形がどのような三角形になるのかを考えてみるのも面白そうですね。
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