ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！もうすぐ梅雨の時期です。雨が降ったら傘が邪魔で行動しにくいなぁ。というのが以前まで思ってたことですが、最近はお洗濯ができなくて死活問題です。なんで、洗濯しようとしたら次の日雨なんだよ！(笑)
今週の問題は接線に関する問題です。接線を求める方法は2通りあります。
・2次方程式の判別式を使う
・導関数を使う
です。どちらの解法が楽かは実験して研究するのが一番ですね。私みたいに趣味でやっている人は時間がありますが、受験生みたいに時間がない人は誰かにやってもらったほうが良いかもしれませんね。というわけで実験してみます。
今回の問題で必要な知識
・平方完成
・放物線とx軸との位置関係
2次方程式の判別式の符号で放物線とx軸との交点の個数を調べる。
・導関数の求め方とその性質
・導関数を用いた接線の方程式の求め方
曲線y=f(x)上の点(t,t(t))における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)
今回の問題は放物線と傾きがわからない直線が接するときの傾きを求める問題です。数学Ⅰで出てきそうな問題です。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)の交点のx座標は方程式f(x)=g(x)で与えられるので、交点の個数はこの方程式の解の個数に一致します。この方程式が2次方程式の場合は、重解を持てば2つの曲線は接するということになります。この考えに基づけば、2次方程式の判別式の値が０になるような条件を求めれば良いということになります。
別の考え方で行くと、「直線が接する」ということは、その直線は曲線の接線であるということができます。なので、導関数を使って求めることができそうですね。導関数を求めれば、曲線上の点におけるその点の微分係数がわかります。この値がその点における接線の傾きになります。今回の問題はその接線の傾きの値を定めれば良いので、あとは接線がどの点を通るかが分かれば傾きが求められるということです。
導関数は数学Ⅱで習う内容なので、数学Ⅰしかやっていない人には使えませんが知識が多くなると、解き方の幅が広がってきます。問題によっては遠回りになったり行き止まりになったり、逆に近道になったりするかもしれませんが、それはやってみないとわからない部分があるのでいろいろな解き方を試してみるのはいかがでしょうか。私もいろいろ実験してみようと思います。実験結果はまた更新します(^^)/
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^♪
