マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2008年中高共通第1問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2008年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

2次関数 $f(x)=x^{2}-6x+5$ …①について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)2次関数①の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

(2) $a\leqq x\leqq a+4$ における2次関数①の最小値 $m(a)$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次関数の最小値問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次関数は平方完成をすることが基本です。平方完成を行うと

$f(x)=(x-3)^{2}-4$

となります。したがって、2次関数の最小値は $x=3$ のとき $-4$ をとります。

平方完成を行わない方法として、導関数を用いる方法があります。導関数は $f^{\prime }(x)=2x-6$ となりますので、関数 $f(x)$ の増減表は

$\begin{array}{|c|c|c|c}\hline x&\cdots &3&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow &-4&\nearrow \\ \hline \end{array}$

となります。この増減表からも関数 $f(x)$ の最小値が $x=3$ のとき $-4$ であることがわかります。グラフを描くと以下のようになります。

$a\leqq x\leqq a+4$ の最小値については、先ほど求めた放物線の頂点がこの定義域に入るかどうかで場合分けをして考えます。考えられる状況は

(1)頂点が定義域の右側にある場合

(2)頂点が定義域の中にある場合

(3)頂点が定義域の左側にある場合

の3パターンです。

(1)のときの条件は $a+4\lt 3$ のときで、この不等式から $a\lt -1$ となります。このとき $f(x)$ は $x=a+4$ のとき最小値をとりますので、 $m(a)=a^{2}+2a-3$ となります。

(2)のときの条件は $a\leqq 3leqq a+4$ のときで、この不等式を解くと $-1\leqq a\leqq 3$ となります。このとき $f(x)$ は $x=3$ のとき最小値をとりますので、 $m(a)=-4$ となります。

(3)のときの条件は $3\lt a$ となります。このとき $f(x)$ は $x=a$ のとき最小値をとりますので $m(a)=a^{2}-6a+5$ となります。

いかがだったでしょうか？

2次関数の分野でよく出てくる面倒な問題ではなかったでしょうか。

自分が最初に受けた進研模試で出てきたという記憶があります。

そのくらいよく出題される問題ですので、このタイプの問題は解けるようにしておいたほうが良いです。

　

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