教員採用試験問題集のチェックテスト【確率・場合の数】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験の問題集に載っているチェックテストの問題です。

今回は場合の数と確率です。

今回の問題の原文

1.あるゲームでAがBに勝つ確率は常に $\displaystyle \frac{1}[2}$ で一定とする。このゲームを繰り返し、先に4勝した方を優勝とする。ただし、1回のゲームでは必ず勝負がつくものとする。次の各問いに答えよ。

(1)4回目で優勝者が決まる確率を求めよ。

(2)6回目でAが優勝する確率を求めよ。

2.6個の文字S,E,N,S,E,Iを横一列に並べる。次の各問いに答えよ。

(1)この並べ方は全部で何通りあるかを求めよ。

(2)SとSが隣り合わず、EとEが隣り合わないような並べ方は何通りあるか求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

反復試行の確率と同じ文字を含む順列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)Aが優勝する確率は $\displaystyle \left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16}$ 、Bが優勝する確率も同様に $\displaystyle \left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16}$ です。この2つの事柄は同時に起こりませんので、4回目で優勝者が決まる確率は[ted: \displaystyle \frac{1}{8}]となります。

6回目でAが優勝する確率は、5回目までにAが3勝して6回目でAが勝てばいいので

$\displaystyle _{5}C_{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{32}$

となります。

(2)Sが2個、Eが2個ありますので、この6文字を横一列に並べる並べ方は $\displaystyle \frac{6!}{2!2!}=180$ 通りあります。

SとSが隣り合わず、EとEが隣り合わない並び方の総数は、全部の並び方からSとSが隣り合うまたはEとEが隣り合う並び方の総数を除けば良いです。SとSが隣り合う並び方は、SとSをひとかたまりとして考えると、 $\displaystyle \frac{5!}{2!}=60$ 通りあります。EとEが隣り合う並び方も同様に考えて $60$ 通りあります。SとSが隣り合い、EとEが隣り合う並び方の総数は $4!=24$ 通りあります。したがって、SとSが隣り合う、またはEとEが隣り合う並び方の総数は $60+60-24=96$ 通りです。よって、SとSが隣り合わず、EとEが隣り合わないような並び方は全部で