マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2006年前期日程第2問】

場合の数と確率入試問題

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2006年前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$X$ 氏が点 $P$ にいるパターンは

・ $P\longrightarrow A\longrightarrow P$

・ $P\longrightarrow B\longrightarrow P$

・ $Q\longrightarrow A\longrightarrow P$

・ $Q\longrightarrow B\longrightarrow P$

が考えられます。

最初に $P$ にいる確率を $p_{n}$ 、最初に $Q$ にいる確率を $q_{n}$ と考えれば、それぞれの確率は $\displaystyle \frac{1}{6}p_{n},\ \frac{1}{6}p_{n},\ \frac{1}{6}q_{n},\ \frac{1}{6}q_{n}$ となりますので、 $\displaystyle p_{n+2}=\frac{1}{3}p_{n}+\frac{1}{3}q_{n}$ となります。

$X$ 氏が点 $Q$ にいる確率も同様に考えると

・ $P\longrightarrow A\longrightarrow Q$

・ $P\longrightarrow B\longrightarrow Q$

・ $Q\longrightarrow A\longrightarrow Q$

・ $Q\longrightarrow B\longrightarrow Q$

というパターンが考えられます。したがって、それぞれの確率が $\displaystyle \frac{1}{2}p_{n},\ \frac{1}{6}p_{n},\ \frac{1}{2}q_{n},\ \frac{1}{6}q_{n}$ ですので、 $\displaystyle q_{n+2}=\frac{2}{3}p_{n}+\frac{2}{3}q_{n}$ となります。

この関係式より、初めに $X$ 氏が点 $A$ にいるとき、 $X$ 氏は偶数日目には点 $A$ か点 $B$ 、奇数日目には点 $P$ か点 $Q$ にいますので

$\displaystyle p_{1}=\frac{1}{4},\ q_{1}=\frac{3}{4}$

$n$ が偶数のとき $p_{n}=q_{n}=0$

$n$ が $3$ 以上の奇数のとき $\displaystyle p_{n}=\frac{1}{3},\ q_{n}=\frac{3}{4}$ となります。

いかがだったでしょうか？

確率の問題はルールを把握しておくと解きやすくなります。

あとは場合分けなどをして起こりうる状況を確認しておきます。

確率を求める際は同時に起こるのか、起こった事象各々に対して怒るのかを確認しておくと、確率を足して求めるのかかけるべきなのかがわかってきます。

計算に分数が含まれますので、慎重にやっていきたいところではあります。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper