東京女子大学の問題【2022年1日目第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

難易度は☆☆☆☆です。

どんな2次以下の整式に対しても定積分の値が0となるような3次多項式を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

$g(x)$ は2次以下の多項式ですので、 $g(x)=px^{2}+qx+r$ とおきます。

$f(x)g(x)=(x^{3}+ax^{2}+bx+c)(px^{2}+qx+r)$

$=p(x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2})+q(x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx)$

$+r(x^{3}+ax^{2}+bx+c)$

となりますので、これを $-1\leqq x\leqq 1$ の区間で積分すると

$\displaystyle (\frac{2}{5}a+\frac{2}{3}c)p+(\frac{2}{3}b+\frac{2}{5})q+(\frac{2}{3}a+c)r=0$

$p,\ q,\ r$ は任意、言い換えると何でも良いのでこの式を $p,\ q,\ r$ の恒等式と考えます。

右辺と左辺の係数をそれぞれ比較すると、次の連立方程式が得られます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} 3a+5c&=&0\\ 5b+3&=&0\\ a+3c&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと、 $\displaystyle a=0,\ b=-\frac{3}{5},\ c=0$ となります。

計算が少し大変でした。

最大5次の多項式を積分するので面倒な気がしますが、工夫をすれば計算量を減らすことができます。

$g(x)$ が任意であることから、この2次以下の整式の係数が何でも良いということで恒等式の話に持っていきましたが、ここの発想ができるかどうかがカギになりそうです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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