マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

神戸市教員採用試験の問題ver.20220710

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は徳島県教員採用試験+神戸市教員採用試験の問題です。

今回は令和2年実施の神戸市教員採用試験で出題された微分積分の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

数学Ⅲの内容を含みます。曲線の長さを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)方程式 f(x)=0を解きます。

方程式は \log{(2\cos{x})}=0ですので 2\cos{x}=1です。

これを解くと、 \displaystyle \cos{x}=\frac{1}{2}ですので、 xの値の範囲に注意すると \displaystyle x=-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}となります。

(2)導関数 f^{\prime }(x)=-\tan{x}ですので、 x=0で極大値 \log{2}をとります。

(3)元の問題には、不定積分 \displaystyle \int \frac{1}{\cos{x}}dxを求める問題が設定されています。

 \displaystyle \int \frac{1}{\cos{x}}dx=\frac{1}{2}\log\left| \frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right| +C C積分定数

ですので、これを用いると曲線 ABの長さを Lとすると

 \displaystyle L=\int_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\sqrt{1+\left(f^{\prime }(x)\right) ^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{\left| \cos{x}\right| }dx

 \displaystyle =2\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{\cos{x}}dx

 \displaystyle =[\log{\left| \frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right| } ]_{0}^{\frac{\pi }{3}}

 \displaystyle =2\log{(2+\sqrt{3})}

となります。

いかがだったでしょうか?

曲線の長さの求め方は覚えていたのですが、三角関数や指数関数、対数関数の微分積分を忘れているようでした。

数学から離れていた期間があったからでしょうか、頭から消えている部分がありました。

リハビリが必要です…。復習をしていこうと思います!

 

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