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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週はベクトルの入試問題です。
今回は2018年山口大学で出題された問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
四面体の体積を求める問題です。kの値を求めるときの計算が一番大変です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
この問題においての最終目標は四面体OABCの体積を求めることですが、そこに至るまでの誘導がついているので解く方針を立てるのは易しいかと思います。
空間内に3点が与えられていますので、2点間の距離を求めれば
の3辺の長さがわかります。したがって、
の値は余弦定理を用いて求めることができます。
次に、三角関数の相互関係を用いることでの値が求められますので、
の面積が求められます。これで底面の面積を求められました。
次に高さを求めます。問題文にあるように、を含む平面に垂直なベクトルを
として求めよとありますので、これにしたがって
の値を求めます。四面体OABCの高さは、点Oから
に下ろした垂線の足をHとすると、先ほどのベクトル
と平行になります。このベクトルを
とおくと、
となる実数
が存在しますので、この
の値を求めます。
簡単に言いましたが、とおくと、4文字の連立方程式をとかなければいけないので大変です。式は成分表示と共面条件から
についての式は4つ立てられます。
の値が求められればOHの長さが求まりますので、あとは四面体OABCの体積を求めるだけになります。
いかがだったでしょうか?
4文字の連立方程式が一番大変でした。
文字が多いと解くのが面倒というか、ゾッとします。
試験で出ると解かなければいけないので根気強く行くしかないですね…。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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