ベクトルの問題ver.20220423 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週はベクトルの入試問題です。

今回は2018年山口大学で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

四面体の体積を求める問題です。kの値を求めるときの計算が一番大変です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

この問題においての最終目標は四面体OABCの体積を求めることですが、そこに至るまでの誘導がついているので解く方針を立てるのは易しいかと思います。

空間内に3点 $A(1,3,-2),\ B(3,2,-1),\ C(2,1,3)$ が与えられていますので、2点間の距離を求めれば $\triangle ABC$ の3辺の長さがわかります。したがって、 $\cos{\theta }$ の値は余弦定理を用いて求めることができます。

次に、三角関数の相互関係を用いることで $\sin{\theta }$ の値が求められますので、 $\triangle ABC$ の面積が求められます。これで底面の面積を求められました。

次に高さを求めます。問題文にあるように、 $\triangle ABC$ を含む平面に垂直なベクトルを $｀(x,y,1)$ として求めよとありますので、これにしたがって $x,y$ の値を求めます。四面体OABCの高さは、点Oから $\triangle ABC$ に下ろした垂線の足をHとすると、先ほどのベクトル $(x,y,1)$ と平行になります。このベクトルを $\vec{n}$ とおくと、 $\overrightarrow{OH}=k\vec{n}$ となる実数 $k$ が存在しますので、この $k$ の値を求めます。

簡単に言いましたが、 $\overrightarrow{OH}=l\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$ とおくと、4文字の連立方程式をとかなければいけないので大変です。式は成分表示と共面条件から $l,m,n,k$ についての式は4つ立てられます。