ベクトルの問題ver.20220419 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週はベクトルの入試問題です。

今回は2019年横浜国立大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

ベクトルで頻出問題の正四面体の問題です。ノーヒントだと難しいかもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形分野の問題は図を描くと解く方針が見えてきます。

表記の基になっているベクトル $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ の始点がすべて点 $O$ なので、他のベクトルも始点が点 $O$ のベクトルで表せないかを考えます。例えば

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$

ですので、あとは $\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{ON}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ を用いて表せれば $\overrightarrow{MN}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ で表すことができます。

点 $P$ は直線 $MN$ と $\triangle DEF$ を含む平面との交点です。 $O$ 始点で求めようとすると難しいので、ここは $M$ 始点で考えてみます。

まず、 $\overrightarrow{MN}$ を $\overrightarrow{MD},\ \overrightarrow{ME},\ \overrightarrow{MF}$ を用いて表してみます。

$\displaystyle \overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b},\ \overrightarrow{ME}=\frac{1}{6}\vec{b},\ \overrightarrow{MF}=-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\ \cdots (*)$