ベクトルの問題ver.20220420 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週はベクトルの入試問題です。

今回は2017年山梨大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

今回は平面ベクトルですので、昨日までの問題よりかは解きやすいと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

ベクトルの大きさと内積についての計算は

$|t\vec{a}+s\vec{b}|^{2}=t^{2}|\vec{a}|^{2}+2ts\vec{a}\cdot \vec{b}+s^{2}|\vec{b}|^{2}$

が基本となります。展開公式のように見えますが、そのように思っていただいても計算上は問題無いかと思います。

条件から $|2\vec{a}-\vec{b}|^{2}=36$ ですので、この式を変形してみると

$4|\vec{a}|^{2}-4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}=36$

となります。 $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=2\sqrt{2}$ であることを用いれば、 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ に関する方程式になりますので、この方程式を解けば $\vec{a}\cdot \vec{b}$ の値が求められます。

内積は「2つのベクトルが垂直あること」をいうためにも必要な材料になります。

内積の定義は、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角のうち小さいほうを $\theta$ とすると $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta }$ です。

このことから、内積の値が0であればその2つのベクトルは90°で交わっている、つまり垂直に交わっているということが言えます。

逆に、2つのベクトルが垂直に交わっていれば、内積の定義式より内積の値は0になります。

このことを用いて $s,\ t$ の条件や値を求めていきます。

ベクトルの内積を問う問題で、基礎的な問題ですので復習するには良い問題になるかと思います。

結構、ベクトルの内積の扱いが苦手な方が多いような気がします。（今教えに行っている塾で数学Bが必要だった学生全員が今のところ内積が苦手と言っていました）

数学は大学の授業でも演習の時間があるくらいアウトプットが重要なので、たくさん問題演習を積んでおきたい問題です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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