マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

三角関数の問題ver.20220328

三角関数入試問題

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今週は三角関数の入試問題です。

今回の問題は2018年岡山県立大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の加法定理やとりうる値に注意が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

下の図のように、点Aからx軸とy軸にそれぞれ垂線を下ろし、その交点をそれぞれB、Cとします。

また、 $\angle OPQ=\theta$ とおきます。

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(1) $\triangle APB$ と $\triangle AQC$ は直角三角形になりますので、三角関数の定義から

$\displaystyle AP=\frac{1}{\sin{\theta }},\ AQ=\frac{1}{\cos{\theta }}$

となります。

したがって、 $PQ=AP+AQ$ ですので、

$\displaystyle f(\theta )=\frac{\sin{\theta }+\cos{\theta }}{\sin{\theta }\cos{\theta }}$

になります。

(2) $f(\theta )=2\sqrt{6}$ になるような $\theta$ は、 $2\sin{2\theta }$ に関する2次方程式

$6(\sin{2\theta })^{2}-\sin{2\theta }-1=0$

を満たします。

直線PQは点Aを通って、傾きが負ですので $\displaystyle 0＜\theta ＜\frac{\pi }{2}$ が条件となります。

よって、 $\sin{2\theta }＞0$ であることがわかります。

なので、これを満たす $\theta$ を求めれば良いことになります。

(3) $f(\theta )＞0$ ですので、この2乗の値を考えてみます。

そうすると、 $\displaystyle \frac{1}{\sin{\theta }\cos{\theta }}$ に関する2次関数となりますので、この値のとりうる範囲に注意して $\{ f(\theta )\} ^{2}$ の最小値を求めます。

いかがだったでしょうか？

(2)までは基礎的な問題なので、ここまでは行き着いてほしいところです。

(3)が難しいかもしれません。

初見で出てきたら解けなさそうですね…。(絶対思いつかなさそう)

問題をたくさん解いて技術を磨いていくしかないのでしょうか？

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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