2024-04-07

必要条件・十分条件の問題【2021年高知県教員採用試験】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$x,\ y$ は実数とする。 $xy\lt 0$ は $|x+y|\gt x+y$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2021年の高知県教員採用試験の過去問です。

今回の問題は反例を探したほうが良さそうです。

今回の問題の解説

次の命題の真偽を調べます。

・ $xy\lt 0\Longrightarrow |x+y|\gt x+y$

・ $|x+y|\gt x+y\Longrightarrow xy\lt 0$

前者の命題については、 $x=2,\ y=-1$ とすると

$xy=-2,\ x+y=1,\ |x+y|=1$

となっています。

このとき、 $xy\lt 0$ を満たしていますが、 $|x+y|\gt x+y$ を満たしていません。

したがって、これが反例になりますので、この命題は偽の命題になります。

後者の命題については、 $x=-1,\ y=-1$ とすると

$xy=1,\ x+y=-2,\ |x+y|=2$

となっています。

このとき、 $|x+y|\gt x+y$ は満たしていますが、 $xy\lt 0$ を満たしていません。

したがって、これが反例になりますので、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $xy\lt 0$ は $|x+y|\gt x+y$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

符号が絡んでくる問題は $1$ と $-1$ などのように簡単なものから考えていくと反例が見つかりやすいです。

今回の問題もそのような方法で考えていくと、すぐに反例が見つかりました。

前回は不等式の表す領域を図示する方法で解きましたが、今回のように図示が難しそうであれば命題を立てて、その命題の真偽を調べるほうが良さそうです。

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2024-04-06

九州女子大学の過去問【2019年一般選抜B日程】

入試問題の解説

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今回の問題

九州女子大学2019年一般選抜B日程の問題です。

前回のA日程より易しいです。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

教科書傍用問題集のB問題くらいの難易度です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

3問とも方程式の左辺は因数分解ができます。

(1)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}-3x-35&=&0\\ (2x+7)(x-5)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{7}{2},\ 5$ （答えは選択肢の9番）

(2)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 12x^{2}+16x-3&=&0\\ (2x+3)(6x-1)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{3}{2},\ \frac{1}{6}$ （答えは選択肢の1番）

(3)の問題の解説

$\begin{eqnarray*} 14x^{2}-13x-12&=&0\\ (7x+4)(2x-3)&=&0\end{eqnarray*}$

より、この方程式の解は $\displaystyle x=-\frac{4}{7},\ \frac{3}{2}$ （答えは選択肢の6番）

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

絶対値の取り扱いに注意が必要です。絶対値の性質は次の通りです。

$\displaystyle |a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

(1)の問題の解説

以下のように解いていきます。

$|2x+1|\leqq 5$

$-5\leqq 2x+1\leqq 5$

$-6\leqq 2x\leqq 4$

$-3\leqq x\leqq 2$

答えは選択肢の2番です。

(2)の問題の解説

絶対値の性質に気をつけて解いていきます。

$3x-1\geqq 0$ すなわち $\displaystyle x\geqq \frac{1}{3}$ のとき

$\begin{eqnarray*} 3x-1&\leqq &x+1\\ 2x&\leqq &2\\ x&\leqq &1\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle \frac{1}{3}\leqq x\leqq 1$ となります。

$3x-1\lt 0$ すなわち $\displaystyle x\lt \frac{1}{3}$ のとき

$\begin{eqnarray*} -3x+1&\leqq x+1\\ -2x&\leqq &0\\ x&\geqq &0\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle 0\leqq x\lt \frac{1}{3}$ となります。

したがって、元の不等式の解は、先ほど求めた不等式の解の和集合となりますので $0\leqq x\leqq 1$ となります。（答えは選択肢の5番）

(3)の問題の解説

$2x-1\geqq 0$ すなわち $\displaystyle x\geqq \frac{1}{2}$ のとき

$\begin{eqnarray*} 2x-1&\leqq &x+3\\ x&\leqq &4\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\leqq 4$ となります。

$2x-1\leqq 0$ すなわち $\displaystyle x\leqq \frac{1}{2}$ のとき

$\begin{eqnarray*} -2x+1&\leqq &x+3\\ -3x&\leqq &2\\ x&\geqq -\frac{2}{3}\end{eqnarray*}$

よって、このときの不等式の解は $\displaystyle -\frac{2}{3}\leqq x\lt \frac{1}{2}$ となります。

したがって、元の不等式の解は、先ほど求めた不等式の解の和集合となりますので $\displaystyle -\frac{2}{3}\leqq x\leqq 4$ となります。（答えは選択肢の4番）

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

三角比の性質

・ $\sin{(90^{\circ }-\theta )}=\cos{\theta },\ \cos{(90^{\circ }-\theta )}=\sin{\theta }$

・ $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

を用いて式の値を求めます。

(1)の問題の解説

$65^{\circ }=90^{\circ }-25^{\circ }$ に注意すると

$\begin{eqnarray*} \sin{25^{\circ }}\cos{65^{\circ }}+\sin{65^{\circ }}\cos{25^{\circ }}&=&\sin{25^{\circ }}\sin{25^{\circ }}+\cos{25^{\circ }}\cos{25^{\circ }}\\ &=&\sin^{2}{25^{\circ }}+\cos^{2}{25^{\circ }}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

(2)の問題の解説

$\sin{(90^{\circ }+\theta )}=\cos{\theta },\ \cos{(90^{\circ }+\theta )}=-\sin{\theta }$ を用いると、 $\theta +60^{\circ }=90^{\circ }+\theta -30^{\circ }$ より

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}{(\theta -30^{\circ })}+\sin^{2}{(\theta +60^{\circ })}&=&\sin^{2}{(\theta -30^{\circ })}+(\cos{(\theta -30^{\circ })})^{2}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

(3)の問題の解説

$40^{\circ }=90^{\circ }-50^{\circ }$ であることに注意すると

$(\sin{40^{\circ }}+\cos{40^{\circ }})^{2}+(\sin{50^{\circ }}-\cos{50^{\circ }})^{2}$

$=1+2\sin{40^{\circ }}\cos{40^{\circ }}+1-2\sin{50^{\circ }}\cos{50^{\circ }}$

$=2$

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

条件 $p$ と $q$ があるときに

「 $p$ は $q$ であるための（　）条件である。」

という問題を解答するには、次の2つの命題の真偽を調べます。

(a) $p\Longrightarrow q$

(b) $q\Longrightarrow p$

真なら証明ができ、偽なら反例を挙げることができます。

2つの命題の真偽で、以下のように解答します。

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & (b)真&(b)偽\\ \hline (a)真&必要十分条件&十分条件であるが必要条件ではない\\ \hline (a)偽&必要条件であるが十分条件ではない&必要条件でも十分条件でもない\\ \hline \end{array}$

詳細の解き方は「必要条件・十分条件の問題」で解説しています。

この問題の解答は

(1)十分条件であるが必要条件ではない

(2)必要十分条件

(3)十分条件であるが必要条件ではない

(4)必要条件であるが十分条件ではない

(5)必要条件でも十分条件でもない

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

(1)の問題の解説

$4$ 進数で $1230$ で表される数を $10$ 進数で表すと

$\begin{eqnarray*} 1\times 4^{3}+2\times 4^{2}+3\times 4^{1}+0\times 4^{0}&=&64+32+12\\ &=&108\end{eqnarray*}$

となります。（答えは選択肢の9番）

(2)の問題の解説

$108=1\times 2^{6}+1\times 2^{5}+0\times 2^{4}+1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+0\times 2^{0}$

ですので、 $4$ 進数で $1230$ で表される数、すなわち $10$ 進数で $108$ と表される数を $2$ 進数で表すと

$1101100$

となります。（答えは選択肢の5番）

(3)の問題の解説

自然数 $N$ を $3$ 進数で表すと $1a21$ になるので

$\begin{eqnarray*} N&=&1\times 3^{3}+a\times 3^{2}+2\times 3^{1}+1\times 3^{0}\\ &=&27+9a+6+1\\ &=&9a+34\end{eqnarray*}$

自然数 $N$ を $4$ 進数で表すと $2b3$ になるので

$\begin{eqnarray*} N&=&2\times 4^{2}+b\times 4^{1}+3\times 4^{0}\\ &=&32+4b+3\\ &=&4b+35\end{eqnarray*}$

となります。これらは同じ自然数を表していますので

$9a+34=4b+35$

が成り立ちます。この式を整理すると

$9a=4b+1$

となります。

$a$ は $0,\ 1,\ 2$ のいずれか、 $b$ は $0,\ 1,\ 2,\ 3$ のいずれかになりますので、この等式を満たすような $(a,b)$ の組は $(a,b)=(1,2)$ となります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

(1)の問題の解説

放物線 $y=x^{2}-3x-1$ を平行移動したものを求めますので、求める放物線の式は

$y=x^{2}+ax+b$

とおくことができます。

この放物線が2点 $(1,-1)$ と $(2,0)$ を通るとき、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+1&=&-1\\ 2a+b+4&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=-2,\ b=0$ となりますので、求める放物線の式は

$y=x^{2}-2x$

この式を変形すると

$y=(x-1)^{2}-1$

となりますので、この放物線の頂点は $(1,-1)$ であることがわかります。（答えは選択肢の7番）

(2)の問題の解説

放物線 $y=x^{2}$ を平行移動させたもので、頂点が直線 $y=-x+2$ 上にありますので、求める放物線の式は

$y=(x-p)^{2}-p+2$

とおくことができます。

この放物線が点 $(1,7)$ を通りますので

$7=(1-p)^{2}-p+2$

が成り立ちます。この式を整理すると

$p^{2}-3p-4=0$

となりますが、この方程式を解くと $p=-1,\ p=4$ となります。

$p=-1$ のとき、放物線の式は

$y=(x+1)^{2}+3$

$p=4$ のとき、放物線の式は

$y=(x-4)^{2}-2$

となります。（答えは2番と4番）

問題と問題の解説（第7問）

第7問

第7問の解説

解く方針は

・対角線を1本引く

・2つの三角形に対して余弦定理を用いて、向かい合う角の余弦の値を求める。

・三角比の相互関係を用いて制限の値を求める。

・2つの三角形の面積を求める。

となります。

円に内接する四角形は向かい合う角の和が $180^{\circ }$ であることに注意します。

今回は対角線 $BD$ を引いた場合で解いてみます。

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$BD^{2}=25-14\cos{B}$ …①

$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると、 $\cos{D}=-\cos{B}$ であることに注意すると

$BD^{2}=61+60\cos{B}$ …②

①と②より $\displaystyle \cos{B}=-\frac{3}{7}$

であることが導かれます。ここで、三角比の相互関係を用いると

$\displaystyle \sin{B}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$

となります。

したがって、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 4\times \frac{2\sqrt{10}}{7}=\frac{12\sqrt{10}}{7}$

$\triangle ACD$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 5\times \frac{2\sqrt{10}}{7}=\frac{30\sqrt{10}}{7}$

となりますので、四角形 $ABCD$ の面積は、これら2つの三角形の面積の和となりますので

$\displaystyle \frac{12\sqrt{10}}{7}+\frac{30\sqrt{10}}{7}=6\sqrt{10}$

となります。（答えは選択肢の5番）

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

難易度は教科書の節末問題・章末問題くらいかと思います。

ですので、教科書の問題を隅々まで解けば満点が狙えそうです。

また、出題範囲が数学Ⅰ＋Aですので、復習には良い問題になるかと思います。

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2024-04-03

必要条件・十分条件の問題【2023年東京都教員採用試験】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$x,\ y$ を実数とするとき、 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ は、 $|x|+|y|\lt 1$ であるための（　）

今回の問題について

令和5年度の東京都教員採用試験の過去問です。

必要条件・十分条件に関する問題は共通テストや大学入試だけでなく、教員採用試験でも出題されています。

ですので、数学科で教員採用試験を受けるのにも対策が必要ということですね。

今回の問題の解説

今回の問題は、命題を作って真偽を確かめる方法で進めると大変です。

反例を見つけるのにも時間がかかりそうです。

そこで、図示をして集合の包含関係を見る方法で解きます。

条件 $p$ と $q$ があって、条件 $p$ を満たす全体の集合を $P$ 、条件 $q$ を満たす全体の集合を $Q$ とします。であるとします。

このとき、 $P\subset Q$ が成り立てば、命題 $p\Longrightarrow q$ が真の命題であることが言えます。

$P=\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\lt 1\}$

$Q=\{ (x,y)||x|+|y|\lt 1\}$

とおきます。不等式 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ と $|x|+|y|\lt 1$ の表す領域を図に表すと、以下のようになります。

$x^{2}+y^{2}\lt 1$ を満たす領域を青色、 $|x|+|y|\lt 1$ を満たす領域を赤色にしています。

この図を見ると $Q\subset P$ を満たしていますので、次の命題が真の命題であることが言えます。

$|x|+|y|\lt 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\lt 1$

したがって、 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ は $|x|+|y|\lt 1$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

反例を見つけるのが大変そうだと思ったときは、図に描いたりして包含関係を見てあげると簡単に行く場合があります。

今回の問題もそのパターンでした。

ただ、絶対値を含む不等式を処理するのが大変でした。

教員採用試験で出題されているくらいですから、そう簡単にはいかないということかもしれませんね。

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2024-04-02

数と式の問題【2018年神奈川県・横浜市・川崎市・相模原市教員採用試験】

数と式教員採用試験の過去問

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今回の問題

今回は2018年神奈川県・横浜市・川崎市・相模原市教員採用試験の過去問からです。

今回の問題の原文（記述式）

不等式 $(x^{2}-6x+2)^{2}-4(x^{2}-6x+2)-45\leqq 0$ を満たす整数 $x$ の個数を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

因数分解後の不等式の処理の仕方がポイントです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$x^{2}-6x+2=X$ とおくと、不等式の左辺は

$\begin{eqnarray*} X^{2}-4X-45&=&(X-9)(X+5)\\ &=&(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x-7)\end{eqnarray*}$

と変形できますので、

$(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x-7)\leqq 0$

を考えることになります。この不等式から

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-6x+7&\geqq &0\\ x^{2}-6x-7&\leqq &0\end{array}\right.$

または

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-6x+7&\leqq &0\\ x^{2}-6x-7&\geqq &0\end{array}\right.$

であることがわかります。

前者の連立不等式の解は解なし、後者の連立不等式の解は

$-1\leqq x\leqq 3-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{2}\leqq x\leqq 7$

となります。

この不等式を満たす整数は $-1,\ 0,\ 1,\ 5,\ 6,\ 7$ の6個となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

不等式の左辺において、因数分解をするところまでは行きつくことができるかと思います。

そのあとの処理を適切に行わないと間違った答えが出てくる可能性があります。

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2024-04-01

数と式の問題【2018年埼玉県・さいたま市教員採用試験】

数と式教員採用試験の過去問

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今回の問題

久しぶりの更新です。

今週は数と式に関する大学入試・教員採用試験の問題を扱います。

今回の問題は埼玉県・さいたま市教員採用試験で出題された過去問です。

今回の問題の原文

$|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となるような自然数 $n$ の個数として正しいものを(1)～(4)の中から1つ選びなさい。

(1) 2　(2) 4　(3) 6　(4) 8

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

最初の因数分解ができないと太刀打ちできません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$n^{4}-15n^{2}+25$ を因数分解します。

次のように工夫をする必要があります。

$\begin{eqnarray*} n^{4}-15n^{2}+25&=&n^{4}+10n^{2}+25-25n^{2}\\ &=&(n^{2}+5)^{2}-(5n)^{2}\\ &=&(n^{2}+5-5n)(n^{2}+5+5n)\\ &=&(n^{2}-5n+5)(n^{2}+5n+5)\end{eqnarray*}$

$|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となるのは、次の場合が考えられます。

(1) $n^{2}-5n+5=\pm 1$ かつ $n^{2}+5n+5$ が素数

(2) $n^{2}+5n+5=\pm 1$ かつ $n^{2}-5n+5$ が素数

(1)の場合を考えてみます。

$n^{2}-5n+5=1$ のとき、 $n^{2}-5n+4=0$ ですが、この方程式を解くと $n=1,\ 4$ です。

$n=1$ のとき $n^{2}+5n+5=11$ で素数となりますので(1)の条件を満たしています。

$n=4$ のとき $n^{2}+5n+5=41$ で素数となりますので、これも(1)の条件を満たします。

$n^{2}-5n+5=-1$ のとき、 $n^{2}-5n+6=0$ ですが、この方程式を解くと $n=2,\ 3$ です。

$n=2$ のとき $n^{2}+5n+5=19$ で素数となりますので(1)の条件を満たしています。

$n=3$ のとき $n^{2}+5n+5=29$ で素数となりますので、これも(1)の条件を満たしています。

次に、(2)の場合を考えてみます。

$n^{2}+5n+5=1$ のとき、 $n^{2}+5n+4=0$ ですが、この方程式を解くと $n=-1,\ -4$ です。

これらの解は自然数ではありませんので、この解は除きます。

$n^{2}+5n+5=-1$ のとき、 $n^{2}+5n+6=0$ ですが、この方程式を解くと $n=-2,\ -3$ です。

これらの解は自然数ではありませんので、この解は除きます。

以上から、 $|n^{4}-15n^{2}+25|$ の値が素数となる自然数 $n$ は $1,\ 2,\ 3,\ 4$ の4個となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

最初の因数分解で工夫が必要でした。

思いつかないと先に進むことはほとんど不可能かと思います。

このような因数分解は慣れが必要ですので、演習を重ねていくしかないかもしれません。

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2024-03-31

必要条件・十分条件の問題【基礎の数学p56問1】

論文等からの問題必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1) $a+c=b+d$ は $a=b$ かつ $c=d$ であるための（　）

(2) $|a|=5$ は $a=-5$ であるための（　）

(3)「 $n$ は整数である」は「 $2n$ が偶数である」ための（　）

(4) $x=1$ は $x^{2}+2x-3=0$ であるための（　）

今回の問題について

裳華房から出版されている「基礎の数学」に載っている問題です。

教科書ではないですが、内容は高校数学の基礎的なものとなっています。

今回の問題の解説

(1)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $a+c=b+d\Longrightarrow a=b$ かつ $c=d$

・ $a=b$ かつ $c=d\Longrightarrow a+c=b+d$

前者の命題は $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=2$ が反例となっていますので、偽の命題となります。

後者の命題は $a=b=k,\ c=d=l$ とおくと

$a+c=k+l,\ b+d=k+l$

となっていますので、 $a+c=b+d$ であることが示せます。

したがって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $a+c=b+d$ であることは $a=b$ かつ $c=d$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $|a|=5\Longrightarrow a=-5$

・ $a=-5\Longrightarrow |a|=5$

前者の命題については、 $|a|=5$ を解くと $a=\pm 5$ となります。

したがって、 $a=5$ が反例となります。

よって、この命題は偽の命題となります。

後者の命題は真の命題です。

以上から、 $|a|=5$ は $a=-5$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(3)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・「 $n$ が整数である」 $\Longrightarrow$ 「 $2n$ は偶数である」

・「 $2n$ が偶数である」 $\Longrightarrow$ 「 $n$ は整数である」

前者の命題は真の命題です。

後者の命題については、 $2n$ が偶数であるとき、整数 $k$ を用いて

$2n=2k$

と表すことができます。この式の両辺を $2$ で割ると

$n=k$

が得られます。 $k$ は整数ですので、 $n$ も整数であることがわかります。

したがって、この命題は真の命題です。

以上から、「 $n$ は整数である」は「 $2n$ は偶数である」ための「必要十分条件」となります。

(4)の問題について

次の命題の真偽を調べます。

・ $x=1\Longrightarrow x^{2}+2x-3=0$

・ $x^{2}+2x-3=0\Longrightarrow x=1$

前者の命題については、仮定が $x=1$ ですので、これを $x^{2}+2x-3$ という式に代入すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3&=&1^{2}+2\cdot 1-3\\ &=&1+2-3\\ &=&0\end{eqnarray*}$

となり、 $x^{2}+2x-3=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真の命題となります。

後者の命題は、 $x$ の2次方程式 $x^{2}+2x-3=0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2x-3&=&0\\ (x-1)(x+3)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、解は $x=1,\ -3$ となります。

よって、 $x=-3$ がこの命題の反例となりますので、この命題は偽の命題になります。

以上から、 $x=1$ は $x^{2}+2x-3=0$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

どれも必要条件・十分条件に関する基礎的な問題でした。

命題を作って、その命題の真偽を調べることがこのような問題の解法になります。

面倒かもしれませんが、この方法が確実です。

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2024-03-30

九州女子大学の過去問【2019年一般選抜A日程】

入試問題の解説

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今回の問題

九州女子大学2019年一般選抜A日程の問題です。

基礎的な問題ばかりですので、入試勉強の入門や腕慣らしには良い問題かと思います。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

教科書の節末問題や章末問題が解ければ対応できるくらいの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

基本的には1つの文字について降べきの順に整理してから因数分解を行います。

必要であれば途中まで展開してから因数分解をします。

(1)の問題の解説

以下の手順で因数分解を行います。

① $x$ の降べきの順に整理する。

② $x$ について見たときの定数項の部分だけ因数分解する。

③式全体をたすき掛けを使って因数分解する。

$\begin{eqnarray*} (与式)&=&2x^{2}+(5y+1)x+2y^{2}+5y-3\\ &=&2x^{2}+(5y+1)x+(2y-1)(y+3)\\ &=&\left\{ 2x+(y+3)\right\} \left\{ x+(2y-1)\right\} \\ &=&(2x+y+3)(x+2y-1)\end{eqnarray*}$

となりますので、答えは選択肢の3番です。

(2)の問題の解説

$x^{2}+2x$ の部分に注目します。

$x^{2}+2x=t$ とおくと、次のように因数分解ができます。

$\begin{eqnarray*} (与式)&=&t^{2}-4t+3\\ &=&(t-1)(t-3)\\ &=&(x^{2}+2x-1)(x^{2}+2x-3)\\ &=&(x^{2}+2x-1)(x-1)(x+3)\end{eqnarray*}$

よって、答えは選択肢の4番です。

(3)の問題の解説

どの文字について着目しても次数は $2$ ですので、1つの文字について降べきの順に整理してから因数分解を行います。

$\begin{eqnarray*} (与式)&=&(b-c)a^{2}-(b^{2}-c^{2})a+b^{2}c-bc^{2}\\ &=&(b-c)a^{2}-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)\\ &=&(b-c)\left\{ a^{2}-(b+c)a+bc\right\} \\ &=&(b-c)(a-b)(a-c)\\ &=&-(a-b)(b-c)(c-a)\end{eqnarray*}$

よって、答えは選択肢の2番です。

(4)の問題の解説

この問題に関しては、一旦展開をしてから因数分解をすることになります。

少し計算が面倒です。

展開した後の式を見ると、どの文字について着目しても次数は $2$ ですので、展開した後は1つの文字について降べきの順に整理します。

$\begin{eqnarray*} (与式)&=&a^{2}b+abc+ca^{2}+ab^{2}+b^{2}c+abc+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc\\ &=&(b+c)a^{2}+(b^{2}+2bc+c^{2})a+b^{2}c+bc^{2}\\ &=&(b+c)a^{2}+(b+c)^{2}a+bc(b+c)\\ &=&(b+c)\left\{ a^{2}+(b+c)a+bc\right\} \\ &=&(b+c)(a+b)(a+c)\\ &=&(a+b)(b+c)(c+a)\end{eqnarray*}$

よって、答えは選択肢の3番です。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問題が全て $A\lt B\lt C$ のタイプの不等式になっています。

このタイプの不等式は、連立不等式

$\left\{ \begin{array}{ccc} A&\lt &B\\ B&\lt &C\end{array}\right.$

を解くことになります。

(1)の問題の解説

不等式 $\displaystyle 6x-4\lt \frac{2(7x-2)}{5}$ を解くと

$\begin{eqnarray*} 30x-20&\lt &14x-4\\ 16x\lt 16\\ x&\lt 1\end{eqnarray*}$

不等式 $\displaystyle \frac{2(7x-2)}{5}\lt 3x$ を解くと

$\begin{eqnarray*} 14x-4&\lt &15x\\ -x&\lt &4\\ x&\gt &-4\end{eqnarray*}$

よって、連立不等式の解は $-4\lt x\lt 1$ となります。（選択肢の2番）

(2)の問題の解説

不等式 $2x-2\lt -x+1$ を解くと $x\lt 1$

不等式 $-x+1\lt 3x+5$ を解くと $x\gt -1$

よって、連立不等式の解は $-1\lt x\lt 1$ となります。（選択肢の5番）

(3)の問題の解説

不等式 $\displaystyle \frac{2(x-4)}{3}+\frac{7}{6}\lt \frac{3x-5}{4}$ を解くと $x\gt -3$

不等式 $\displaystyle \frac{3x-5}{4}\lt \frac{2}{3}x-\frac{x-5}{4}$ を解くと $\displaystyle x\lt \frac{15}{2}$

よって、連立不等式の解は $\displaystyle -3\lt x\lt \frac{15}{2}$ となります。（選択肢の3番）

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

$x,\ y$ は自然数であることに要注意です。

自然数ですので、正の数であることにも注意が必要です。

(1)の問題の解説

$7x+3y=50$ と $x$ が自然数であることから、 $x$ は $1$ から $7$ までの自然数であることがわかります。

$7x+3y=50$ に $x$ の値を代入したとき、 $y$ の値が自然数となるのは

・ $x=2$ のとき $y=12$

・ $x=5$ のとき $y=5$

の2つとなります。（答えは選択肢の2番）

(2)の問題の解説

式を変形すると

$(x+y)(x-y)=21$

となります。 $x$ と $y$ が自然数なので $x+y\gt x-y$ です。したがって

$(x+y,x-y)=(21,1),\ (7,3)$

となります。ここから $x,\ y$ の値を求めると、自然数 $(x,y)$ の組は $(x,y)=(11,10),(5,2)$ の2つとなります。（答えは選択肢の2番）

(3)の問題の解説

条件式を変形すると

$\displaystyle \frac{1}{y}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$

となります。さらに、この式を変形すると

$\displaystyle y=4+\frac{16}{x-4}$

となります。 $y$ は自然数ですので、この式から $x-4$ が $16$ 約数であることがわかります。

自然数 $(x,y)$ を求めると

$(x,y)=(5,20),\ (6,12),\ (8,8),\ (12,6),\ (20,5)$

の5つになります。（答えは選択肢の5番）

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

$\triangle ABC$ の3辺の長さが与えられていますので、余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ &=&\frac{9+16-4}{2\cdot 3\cdot 4}\\ &=&\frac{21}{24}\\ &=&\frac{7}{8}\end{eqnarray*}$

となります。三角比の相互関係を用いると

$\begin{eqnarray*} \sin{A}&=&\sqrt{1-\left( \frac{7}{8}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{49}{64}}\\ &=&\sqrt{\frac{15}{64}}\\ &=&\frac{\sqrt{15}}{8}\end{eqnarray*}$