マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

指数関数と対数関数の問題ver.20220322

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今週は指数関数と対数関数の入試問題です。

今回の問題は2018年早稲田大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆☆です。

最後の問題が難問です。

上手く対数関数の値を使って桁数や最高位の数字と最高位の次の数字を求めていきます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)は 3^{20}を10で割った余りを考えます。

 3^{2}\equiv 9(mod 10)

 3^{3}\equiv 7(mod 10)

 3^{4}\equiv 1(mod 10)

 3^{5}\equiv 3(mod 10)

となりますので、指数を4で割った余りで1の位がどの数なのかが分かります。

指数は20で4で割り切れますので 3^{20}\equiv 1(mod 10)であることがわかります。

(2)は 3^{n}が21桁ですので  20\leqq \log_{10}{3^{n}}<21

を満たします。

ここから与えられている対数関数の数値を使ってnの候補を絞ります。

(1)から指数は4で割って3余る数であることがわかります。

(3)については、与えられている対数関数の数値を用いると \log_{10}{7^{70}}=59.157であることがわかります。

したがって、 7^{70}=10^{59}\times 10^{0.157}となります。

この 10^{0.157}の部分がどのようになっているかを考察します。

与えられている対数関数の値より、2は 10^{0.301}くらいの数であることがわかります。

このことから 10^{0.157}<10^{0.301}\fallingdotseq 2となることがわかります。

よって、 7^{70}=1.???\times 10^{59}と考えられますので、 7^{70}の最高位の数は1になります。

(4)はわざと 7^{70}=10^{58}\times 10^{1.157}と変形して考えます。

(3)のときと同じように \log_{10}{n}\leqq 1.157<\log_{10}{(n+1)}を満たす自然数nを探します。

この不等式と(3)から 10\leqq n<20であることがわかりますので、与えられている対数関数の値をヒントにnの値を探します。

nは2桁の自然数ですので、その1の位の数が 7^{70}の最高位の次の数になります。

いかがだったでしょうか?

整数の性質の問題と対数関数の桁数を求める問題がミックスされたような問題でした。

1の位の数は10で割った余りを考えることで求められそうだということがわかりました。

最高位の数を求めるのも、問題集などでよくみられる問題です。

ただ、最高位の次の数を求める問題はあまり見かけない問題です。

初見だと解けなさそうですね。これが初見殺しというものでしょうか。

 

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