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今週は指数関数と対数関数の入試問題です。
今回の問題は2018年早稲田大学で出題された問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆☆です。
最後の問題が難問です。
上手く対数関数の値を使って桁数や最高位の数字と最高位の次の数字を求めていきます。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)はを10で割った余りを考えます。
となりますので、指数を4で割った余りで1の位がどの数なのかが分かります。
指数は20で4で割り切れますのでであることがわかります。
(2)はが21桁ですので
を満たします。
ここから与えられている対数関数の数値を使ってnの候補を絞ります。
(1)から指数は4で割って3余る数であることがわかります。
(3)については、与えられている対数関数の数値を用いるとであることがわかります。
したがって、となります。
このの部分がどのようになっているかを考察します。
与えられている対数関数の値より、2はくらいの数であることがわかります。
このことからとなることがわかります。
よって、と考えられますので、の最高位の数は1になります。
(4)はわざとと変形して考えます。
(3)のときと同じようにを満たす自然数nを探します。
この不等式と(3)からであることがわかりますので、与えられている対数関数の値をヒントにnの値を探します。
nは2桁の自然数ですので、その1の位の数がの最高位の次の数になります。
いかがだったでしょうか?
整数の性質の問題と対数関数の桁数を求める問題がミックスされたような問題でした。
1の位の数は10で割った余りを考えることで求められそうだということがわかりました。
最高位の数を求めるのも、問題集などでよくみられる問題です。
ただ、最高位の次の数を求める問題はあまり見かけない問題です。
初見だと解けなさそうですね。これが初見殺しというものでしょうか。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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