ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は整数の性質の入試問題シリーズです。
今回の問題は2018年宮城教育大学で出題された問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
不定方程式の基本的な解き方をおさえていれば解ける問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
整数解はまず小手調べをして探してみます。
最初の不定方程式の整数解を求めてみます。
xの値から攻めるとすぐに見つかるかと思います。
x=1のとき、y=-6が方程式をみたすので、(x,y)=(1,-6)が整数解の1つです。
したがって、37x+6y=1…①かつ37×1+6×(-6)=1…②なので、①の式から②の式を引くと
37(x-1)+6(y+6)=0…③
が成り立ちます。
式③を変形すると37(x-1)=-6(y+6)となります。
37と6は互いに素なので、整数kを用いて表すと
x-1=-6kかつy+6=37kになります。
このとき、kがxの式にもyの式にもありますが、値が同じことに注意します。
この解法で不定方程式37x+6y=1000の整数解を求めます。
最後の問題は不定方程式37x+6y=1000の整数解でxy<1000かつx>0かつy>0をみたすものを求めます。
いかがだったでしょうか？
最後の問題が少し難しいかと思います。
xとyの条件に整数であることがありますので、小手調べをしてみれば見つかります。
明らかにあり得ないものを除外して時間短縮を図ってください。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
