ご訪問ありがとうございます！数学の問題を作って垂れ流すブログです！
高校も大学も入試が落ち着いてくる時期ではないでしょうか。受験生だった方は今週くらい息抜きしてもいいのではないでしょうか。次受験だよって人は今のうちから準備したほうが良いと思いますよ！(^^)/
今回の問題はチェビシェフ多項式を使った問題です。三角関数と微分と積分の考え方に関する知識が問える問題になったかなと思います。後半とか東京大学の過去問だよね…これ。
「ス」までは基本的な問題かと思うので、受験生なら解けてほしいレベルの問題です。「エ」までは三角関数の加法定理、「サシ」までは導関数に関する知識がしっかり身についていれば解けるかと思います。「ス」は数学Ⅰだけしか知らない人でも解けるかもしれません。
数学の問題を解くには必要な知識を整理しておくとやりやすいかと思います。
三角関数に関する必要な知識
・加法定理
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
・倍角の公式
cos2α=2(cosα)^{2}-1
・導関数の符号と関数の増減
グラフを描くと方程式の実数解の個数がわかります。方程式f(x)=aの実数解の個数と曲線y=f(x)と直線y=aの交点の個数が一致しているので、何個交点があるかを見れば良いです。aの値がf(x)の極小値と極大値の間の値であれば実数解が３個あるということがグラフからわかります。
グラフを描いてみると解けてしまう問題が意外とあるかもしれません。東京大学の2004年の過去問のほうもグラフを描いてみると方針が見えてきます。「グラフを描け」という設問は無かったですが、こういう問題こそグラフに書いてみるということをしてみてはいかがでしょうか？
