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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！
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今回の問題は2次方程式の解に関する問題です。
このあたりからYahoo！知恵袋から拾った問題です。
なお、回答はしていません。
今回の問題の解説です。
2次方程式の解に関する問題は
・2次関数の特徴を使う方法
・2次方程式の解と係数の関係を使う方法
の2通りが考えられます。
この問題では前者の2次関数の特徴を使う方法でアプローチをかけていこうと思います。
問題全体を通して要請されていることは、2次方程式の実数解が2つあるということです。
2次方程式の実数解の個数の判別は判別式を使います。
この判別式が正になっているときが2次方程式の実数解が2つになります。
この条件が前提となります。
2次方程式の左辺をf(x)とおくと、y=f(x)のグラフは下に凸の放物線になります。
2次関数と判別式の関係性は、判別式が正のときはグラフとx軸の交点が2つある状態です。
したがって、放物線の頂点のy座標はx軸より下側にあります。
なので、この問題においては平方完成をする必要は無さそうです。
f(x)=0の解が少なくとも1つはαとβの間にあることがf(α)f(β)<0であるための必要十分条件であることを使ってaの値の範囲を求めます。
放物線の軸の位置にも注意して求めます。
この解き方は2次関数の符号を調べていますが、これは2次関数が連続関数であることをウラで使っています。
連続関数は数学Ⅲで習う内容です。
厳密にやろうとすると数学が苦手な人はついていけないし、嫌いな人は余計にやる気を失いますので、この事実は隠しているのでしょう。
連続関数はグラフがつながっていると解釈していただくと問題ないかと思います。
なのでf(α)f(β)<0ということはf(α)とf(β)の符号が異なるので、この間のどこかでf(c)=0となるような実数cが存在するということがグラフを描くとわかります。
このことを使って解の条件に合うようにaを設定していけば良い、というのがこの問題の解き方です。
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