今週の問題ver2021.9～チェビシェフ多項式～

ご訪問ありがとうございます！数学の問題を作って垂れ流すブログです！

高校も大学も入試が落ち着いてくる時期ではないでしょうか。受験生だった方は今週くらい息抜きしてもいいのではないでしょうか。次受験だよって人は今のうちから準備したほうが良いと思いますよ！(^^)/

今回の問題はチェビシェフ多項式を使った問題です。三角関数と微分と積分の考え方に関する知識が問える問題になったかなと思います。後半とか東京大学の過去問だよね…これ。

「ス」までは基本的な問題かと思うので、受験生なら解けてほしいレベルの問題です。「エ」までは三角関数の加法定理、「サシ」までは導関数に関する知識がしっかり身についていれば解けるかと思います。「ス」は数学Ⅰだけしか知らない人でも解けるかもしれません。

数学の問題を解くには必要な知識を整理しておくとやりやすいかと思います。

三角関数に関する必要な知識

・加法定理

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

・倍角の公式

cos2α=2(cosα)^{2}-1

微分積分に関する必要な知識

・導関数の符号と関数の増減

導関数が正なら単調増加、導関数が負なら単調減少

グラフを描くと方程式の実数解の個数がわかります。方程式f(x)=aの実数解の個数と曲線y=f(x)と直線y=aの交点の個数が一致しているので、何個交点があるかを見れば良いです。aの値がf(x)の極小値と極大値の間の値であれば実数解が３個あるということがグラフからわかります。

グラフを描いてみると解けてしまう問題が意外とあるかもしれません。東京大学の2004年の過去問のほうもグラフを描いてみると方針が見えてきます。「グラフを描け」という設問は無かったですが、こういう問題こそグラフに書いてみるということをしてみてはいかがでしょうか？

今週の問題ver2021.8 ～太郎君のノート1ページ目～

ご訪問ありがとうございます！

大学入試は国公立大学の前期日程も終わって、高校入試のほうは公立高校の入試が終わっているところもあればこれからというところもあるようです。もうすぐ数学の問題の速報とか出るかな？入試問題も解いていこうと思っています。

今回は中学以降で習う定理や入試問題で出された定理や面白そうな証明問題をノート形式にしてまとめたものから問題を作ってみました。理解の手助けになればいいかなと思います。

今回は中学２年生で習う二等辺三角形と正三角形の性質からです。合同の証明で初めて証明の問題をやるかと思います。証明が苦手な人が多いようですが、冷静に基本を見つめなおせばできるようになります。数学は「やり方」を覚えれば苦手な人でもできるようになります！(・ω・)

今回の問題を解くための知識を整理しておきます。

・用語の整理

定義：言葉や記号の意味を明確にするもの。

定理：証明された事柄のうち重要なもの。

・証明のやり方

①仮定と結論を確認する。

②仮定や定理を使って結論をいうための根拠を探す

③証明を書く

・三角形の合同条件

①3組の辺がそれぞれ等しい

②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

・直角三角形の合同条件

①直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

②直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

今回の太郎君のノートの内容は二等辺三角形で成り立つ定理の証明の概要です。

・二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂角の二等分線

・二等辺三角形の底角は等しい

この二つの証明が書いてあります。参考書には

・二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線

であることが書いてあるものが多いかと思います。いずれも三角形の合同を使って証明することができます。証明するときは仮定と結論に気を付けます。「は」で切るとわかりやすいかと思います。上の3つの事柄は日本語で書いてありますが、数式に直すと示すべきことが明確になってわかりやすくなります。根拠も見つけやすくなるのではないでしょうか。

正三角形は3つの辺が等しいですが、「2つの辺が等しい」ともとれるので二等辺三角形の性質が成り立ちます。これを使うと

・正三角形の3つの角の大きさが等しい

・3つの角が等しい三角形は正三角形である

ということがわかります。また、三角形の内角の和は180°なので正三角形の1つの角の大きさは60°であることもわかります。

定理の証明は教科書に書いてあることが多いです。読んだだけではわかりにくいので学校の先生が証明してくれることもあります。大学の講義は本当に重要なものしか証明してくれませんが…。自分でやれってことですかね。理解するのが大変です。高校までで出てくる定理は一度証明しておいたほうが良いです。大学入試で出題されることもありますからね。大阪大学では点と直線との距離の公式の証明、九州大学では和の公式の証明が出題されました。大学のときの指導教官の先生が「公式の証明の出題は学生に対する警告」とおっしゃっていたのを覚えています。自分で教科書をしっかり読むのが大事なんですね。

今週の問題ver2021.7〜共役複素数と方程式の解〜

ご訪問ありがとうございますm(__)m

いよいよ2月が終わり、入試も結果が続々と出てくる頃になりました。国公立大学や公立高校一般入試はまだ結果が出ていませんが私立大学や私立高校では合否が出ているところが多いようです。入試が終わると気が楽になりますね！私も大学から合格通知が来たときはホッとしました。

今回はn次方程式にある複素数解をもてば、その共役複素数も解になることを考察する問題を作ってみました。関数論(複素関数)に関する専門書には必ず載っているようなものです。共役複素数の性質が理解できれば簡単に示すことができます。

「ある複素数がn次方程式の解であればその共役複素数も解である」ということを使えば3次方程式の他の解を求める問題等も時間短縮につながります。この問題の最後のような多項式を考えれば、それでP(x)を割ると他の解が見つかります。P(x)が3次式なら商が1次式になるので、他の解のうちの実数解であるものが見つかります。

「次の2数を解にもつ2次方程式を1つ作れ」という問題が問題集の基礎問題のところや定期テストでよく出題されます。どこで使うんだ？ってなるかもしれませんが、今回のような問題や対称式の値から個々の文字の値を求めるときに非常に役立ちます。難しい問題を解いているとわかりづらいかもしれませんが、いくつかの基礎問題がミックスされているものがほとんどです。それを見つけるのが大変ですね。たくさんの問題と出会うしかなさそうです。

複素数を初めて見るのは方程式の理論のところだったのがほとんどだと思います。複素数は実数と同じように図で表すことが可能です。今は数学Ⅲでやっているようですが、私のときは複素数平面が教科書から消えてしまいました。面白そうなのでやってみたかったのですが残念でした。2005年までは数学Bの科目に複素数平面があったのでセンター試験や一般入試(文理問わず)に出ていました。時間を見つけてチャレンジしていこうと思います！^ ^

今週の問題ver.2021.6〜中線定理〜

ご訪問ありがとうございます！まだまだ冬の気配がしますが、もうすぐ春です。高校入試も大学入試も本格的に始まってまいりました。来年受験の方もそろそろ準備しないといけない頃でしょうか。とある塾で講師をやっていますが、高校入試と大学入試でかなりの温度差を感じますね。やる気とか危機感とかという面で。今更危機感を感じて勉強を始める人がいるようです。困りましたね。( 一一)今まで忠告してたの無視しやがって！って思います。

個人的な愚痴はここまでにしておいて、本題の今日の問題は中線定理に関する問題です。入試問題では証明で出されそうですが、教員採用試験でもよく出されそうな感じです。どこかの教員採用試験の過去問は中線定理を3通りの方法で解けという問題が出ていました。今回は座標を使った証明と、中線定理が三角形が成立していないときでも成り立つかどうかを考察するという問題を作ってみました。

中線定理は座標を使わなくても証明することができます。余弦定理を使う方法もありますが、三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形に場合分けすれば三平方の定理で証明することもできます。この方法であれば中学生でも証明できそうです。高校入試でも出させそうですね。直角三角形と鈍角三角形のときは、直角もしくは鈍角になっている角をAにして、AからBCに垂線を下したものを考えます。あとはAMとABとACを三平方の定理を使って別の辺を使って表します。

中線定理は他の定理などの証明で使った覚えはあまりないですが、試験で使うとなると価値のあるものではないでしょうか。この定理の証明で

・座標を使った2点間の距離

・余弦定理

・三平方の定理

に関する知識が問える問題を出題することができます。一つの定理にはいろいろな知識が入っているということでしょうか。数学の基礎の理解を深めるのに良い問題ですね。

いろいろな知識がミックスされた問題は試験ではよく出されるようです。特に理系では数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・Bの知識がついているかをすべて見なければいけないのに4問しか出せないということが多いみたいです。すべての単元の知識をしっかりついているかを見るには10問は出さないと無理な気がしますが、そうなると受けるほうも大変でしょうし、採点も大変そうですね。複合問題を出すことは受験生にも学校側にとっても効率が良さそうです。試験を受ける側は合格を勝ち取るために複合問題にも柔軟に対応できる力を付けておきたいところですね。

今週の問題ver2021.5〜用紙のサイズ〜

本日はご訪問ありがとうございます！今日はバレンタインですが、なんかチョコどころではなさそうですね。昨夜東北地方でまた大きな地震があったようです。M7.3という事なので、あの阪神淡路大震災と同じくらいの地震だったということになります。これが余震だというので東日本大震災の地震がいかに恐ろしい地震かよくわかりますね…(>_<)

時間が経つにつれて被害状況も明らかになってきています。常磐道では土砂崩れがあって車が巻き込まれたという情報があります。無事を祈るばかりです。

今回の問題は用紙サイズに関する問題を作ってみました。奈良県の公立高校入試問題を参考に作りました。意外と数列や指数関数、対数関数の知識が必要そうです。

必要な2を底とする指数関数の値を使うと、用紙の性質を使えば、ほとんど規格通りの数値になりました。この数値を使えば、相似な図形の性質を使っても解けるので中学生でも解けるのではないかと思います。元の奈良県の問題は相似な図形の性質を使って解く問題でした。身近な事象を使った数学の問題を見ると少し親近感が湧きますね。(私だけか？)

元ネタの問題は大問2です↓

用紙サイズの関係性を使えばいろんな問題ができそうなので学校の授業などのネタになりそうな気がしますね。例えばA版サイズのAn版(n=1,2,3,…)1枚ずつの面積を足すとどうなるか？ということを考えたり？やってみるとおもしろいかもしれませんね。

大きい紙になると、例えばA(ー1)版サイズとかあるんでしょうか？A0版サイズを2枚並べればできますが、そんな規格あるのでしょうか？使い道ないかもしれませんが気になります。

日常的な事象の問題を探すのはすごく大変ですね。制動距離のような簡単に考えられそうなものもありますが、ネタがなくなったら探すのが大変です。どうやって見つけているんだろうか？高校入試では多く見かけますが、「これ、使うのか？」という問題の方が多いです。しかし、「既知の知識で導くことができる教科書に扱われていない定理等」は簡単に見つかりそうです。面白そうなものがあれば作ってみようと思います。(^^)

今週の問題ver2021.4 〜入試の得点調整〜

ご訪問ありがとうございます！今年は無事に…とは言い難い共通テストでした。まさかの逮捕者が出るとは。しかも40代ですか。実施要項とか見てなかったんですかね？今年は新型コロナの関係でかなりの考慮はされているはずですが、なぜ申請かなんかしなかったのですかね。それは本人に聞かないとわからないですが。

今年は理科と公民で得点調整が行われました。得点調整に関する論文が出ていますが、大学入試センターのホームページに掲載されています。誰でも見ることができます。

刊行物｜大学入試センター

その一部をもとに問題を作ってみました。数学Ⅰの「データの分析」の知識があれば解けるかと思います。

https://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00001011.pdf&n=%E7%A0%94%E7%A9%B6%E7%B4%80%E8%A6%81%EF%BC%BFNO.+38-1.pdf

従来のセンター試験、今回からの共通テストでは選択科目間で平均点が20点以上の差があり、それが難易度によるものと判断された場合に得点調整があります。得点調整が実施される条件は

①選択科目間で20点以上の平均点の差が生じたとき

得点調整を行う科目は「地理歴史」の「世界史B」「日本史B」「地理B」の間、「公民」の「現代社会」「倫理」「政治経済」の間、「理科②」の「物理」「化学」「生物」「地学」の間で行われます。

②受験者が1万人を超えた科目

今回の共通テストでは「地学」の受験者が1万人を下回っているので、理科②のうち「地学」の得点調整は対象外になりました。

③同一試験日のもので実施

「本試験」と「追試験・再試験」、「特例追試験」の間では得点調整は行わないということです。今回は「本試験」で得点調整が行われました。

得点調整は「分位点差縮小法」というやり方で行っています。比較する対象は最も平均点が高い科目と最も平均点が低い科目で、この差が15点になるように最も平均点が低かった科目を調整します。これに伴って他の科目も調整されます。この方法は最も平均点が高かった科目は変動しません。今回の場合ですと「公民」の「倫理」の平均点が71.96点、「現代社会」が51.96点、「政治経済」が49.87点でした（

https://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00040203.pdf&n=%E4%BB%A4%E5%92%8C%EF%BC%93%E5%B9%B4%E5%BA%A6%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E5%AD%A6%E5%85%B1%E9%80%9A%E3%83%86%E3%82%B9%E3%83%88%EF%BC%88%EF%BC%91%E6%9C%8816%E6%97%A5%E3%83%BB17%E6%97%A5%EF%BC%89%E3%81%AE%E5%BE%97%E7%82%B9%E8%AA%BF%E6%95%B4%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6.pdf

）ので、得点調整が行われる科目は「現代社会」と「政治経済」で平均点が最も高かった「倫理」は実質的には得点調整はされないということになります。

得点を調整するために、得点を「変換」しなければいけませんが、その変換が今回出題した問題の変換が基礎となっているようです。今回は平均点を上げる変換で考えていますが、実際の得点調整は問題におけるTの値（調整後の平均点）を縮小比率15÷（平均点が最も高かった科目の平均点‐平均点が最も低かった科目の平均点）になるように設定してから変換を行います。ただただ問題文のように変換しただけだと0点と満点が変動してしまうので、これを解消させないといけませんが、解消させると今度は調整後の平均点がT点からずれてしまいます。（元の平均点以上、T未満になるようです。）今は得点調整に関する研究がなされていて、改良が重ねられているようです。

一番良いのは得点調整をしなくて済むように問題を作成することでしょうが、起こってしまうものは仕方ありませんよね。今回の得点調整は3回目みたいです。過去は平成元年のセンター試験の理科Ⅰ、平成10年のセンター試験の地理歴史で行われたそうです。入試の平等性を考えるのにここまでやらないといけないと思うと非常に大変ですね。受けるほうも大変ですが、やるほうはもっと大変だということですね。(>_<)

2021年共通テスト第1日程の数学Ⅱ・数学Bの問題

本日はご訪問ありがとうございます！今回は共通テスト本試験の数学②で出題された問題を見ていこうと思います。出題方針にもあった「教科書等では扱われていない」問題が出ましたね…。早速見ていこうと思います。

まずは１問目です。

一問目の前半は「三角関数」からの出題でした。加法定理と三角関数の合成を使った問題です。問題Bは問題Aを一般化させた問題と言ってもいいかと思います。が、問題Bのほうではcosで合成していることに注意が必要です。いつもならsinのほうで合成しますがね。あとは三角関数のとりうる値の範囲に注意して解けば、最後まで行きつくと思います。

一問目の後半は「指数・対数関数」からの出題でした。前半の三角関数と共通しているところと違うところを観察しているような問題です。「ネ」ではβ=0とすると、1択に絞れるかと思います。そんなに難しくないような問題ですね。

続いて2問目です。

２問目は「微分・積分の考え」からの出題でした。前半、後半とも具体例から一般化して考える問題でした。積分の計算が１カ所ありましたが、かなり計算しやすいように設定されています。導関数の使い方をしっかりマスターしていれば簡単に解ける問題でした。

３問目以降は数学Bの問題です。数学Bも３つか４つある単元を「適宜選択する」と学習指導要領に書いてあるので、選択問題になっています。ですが、ほとんどの大学では数学Bの範囲は「数列とベクトル」から出題すると宣言しているので、受験生の大半は４問目の数列と５問目のベクトルを選択するのではないでしょうか。

３問目は「確率分布と統計的な推測」からの出題でした。

４問目はこちら。

４問目は「数列」からの出題でした。等差数列と等比数列の基本を押さえておけば、あとは誘導の通りに解いていくと「ス」までは行きつくと思います。(３)以降は一般化しているような問題ですが、前半と同じように解いていくとすべて答えを出すことができると思います。

ラストの５問目です。

「ベクトル」からの出題でした。正五角形の問題は頻出なので押さえておきたい問題です。中学数学の知識も要するので忘れていたら復習を行うようにしておきたいですね。前半で解いた問題が後のほうのヒントになっているので、計算は慎重に行いたいところです。最後の「セ」は、ここまで解いたことからOB_{1}とOB_{2}が直角に交わることと、長さが等しいこと、直前の注意から四角形OB_{1}DB_{2}は正方形であることがわかります。

全体的にみると、センター試験では数学Ⅱの問題で大問の前半と後半で独立しているような問題でしたが、今回は大問ごとで独立している問題は無く、最初に具体例、そのあとに一般化したものを考えるといった問題の傾向が強いように思います。数学①でもそのような傾向がありましたので、具体例から一般化を考えるような問題に多く当たってみると来年以降の共通テストの対策にはなりそうです。