ご訪問ありがとうございます！まだまだ冬の気配がしますが、もうすぐ春です。高校入試も大学入試も本格的に始まってまいりました。来年受験の方もそろそろ準備しないといけない頃でしょうか。とある塾で講師をやっていますが、高校入試と大学入試でかなりの温度差を感じますね。やる気とか危機感とかという面で。今更危機感を感じて勉強を始める人がいるようです。困りましたね。( 一一)今まで忠告してたの無視しやがって！って思います。
個人的な愚痴はここまでにしておいて、本題の今日の問題は中線定理に関する問題です。入試問題では証明で出されそうですが、教員採用試験でもよく出されそうな感じです。どこかの教員採用試験の過去問は中線定理を3通りの方法で解けという問題が出ていました。今回は座標を使った証明と、中線定理が三角形が成立していないときでも成り立つかどうかを考察するという問題を作ってみました。
中線定理は座標を使わなくても証明することができます。余弦定理を使う方法もありますが、三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形に場合分けすれば三平方の定理で証明することもできます。この方法であれば中学生でも証明できそうです。高校入試でも出させそうですね。直角三角形と鈍角三角形のときは、直角もしくは鈍角になっている角をAにして、AからBCに垂線を下したものを考えます。あとはAMとABとACを三平方の定理を使って別の辺を使って表します。
中線定理は他の定理などの証明で使った覚えはあまりないですが、試験で使うとなると価値のあるものではないでしょうか。この定理の証明で
・座標を使った2点間の距離
・余弦定理
に関する知識が問える問題を出題することができます。一つの定理にはいろいろな知識が入っているということでしょうか。数学の基礎の理解を深めるのに良い問題ですね。
いろいろな知識がミックスされた問題は試験ではよく出されるようです。特に理系では数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・Bの知識がついているかをすべて見なければいけないのに4問しか出せないということが多いみたいです。すべての単元の知識をしっかりついているかを見るには10問は出さないと無理な気がしますが、そうなると受けるほうも大変でしょうし、採点も大変そうですね。複合問題を出すことは受験生にも学校側にとっても効率が良さそうです。試験を受ける側は合格を勝ち取るために複合問題にも柔軟に対応できる力を付けておきたいところですね。
