滋賀大学の問題ver.20220131 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedcopperです。よろしくお願いします。(^^)

今回からは入試問題を中心に更新していこうと思います。今週は2次関数の問題を紹介します。今日は2016年の滋賀大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

数学Ⅱで習う2次方程式の理論（解と係数の関係）を使って求めることもできますが、今回は2次関数のグラフの特徴を使って解いています。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

(1)2次方程式の解の判別は判別式の符号を考えます。

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の判別式は $b^{2}-4ac$ でした。

今回の問題の場合ですと、 $f(x)=0$ の判別式をDとすると、 $D=k^{2}-4(3k-5)$ となります。

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件はD>0ですので、この不等式を解いてkの値の範囲を求めます。

(2) $f(x)$ を平方完成すると $\displaystyle f(x)=(x-\frac{k}{2})^{2}-\frac{k^{2}}{4}+3k-5$ となります。

方程式 $f(x)=0$ がともに2以下となる異なる2つの実数解を持つ条件は

・D>0

・ $f(2)\leqq 0$

・ $\displaystyle \frac{k}{2}<2$

この条件をすべて満たすkの値の範囲が求めるものになります。

(3)はxの定義域と軸との位置関係で場合分けを行います。

場合分けをして関数が違うときはそれぞれの最大値と最小値を考えておきます。

進研模試とかで出そうな少し面倒な問題ですね。

今日からまともな入試問題です。

「2次関数の問題です」と冒頭でも述べましたが、ほとんどの入試問題は他の単元の知識が必要となることがありますので、適切な知識を引っ張り出せるように練習をしていきたいですね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/