数学の問題を解説してみた。

趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題を解説します。

入試問題の解き方を考えてみたvol.19【教員採用試験の2次関数の問題】

入試問題の解き方教員採用試験の過去問 2次関数

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題を解説するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は入試問題の解説をしていきたいと思います。

入試問題は様々な単元が複合して出題されることがほとんどですので、ある程度の訓練が必要になるかと思います。

過去問を解く時期まではいろいろな問題と出会って入試問題がどんな感じなのか体感してみてください！

　

今回は教員採用試験で出題された2次関数の問題を見ていきたいと思います。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

関数 $f(x)=x^{4}-4x^{3}+(6a+4)x^{2}-12ax+2$ （ $a$ は実数の定数）について、次の(1)〜(3)に答えなさい。

(1) $t=x^{2}-2x$ とするとき、 $f(x)$ を $a$ と $t$ を用いて表しなさい。

(2) $t=x^{2}-2x$ のとり得る値の範囲を求めなさい。

(3) $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を $a$ を用いて表しなさい。

（2018年青森県教員採用試験）

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

次のステップで必要な知識を見ていきます。

1.問題文から必要そうな定理や公式があるか？

問題文からヒントを拾い出します。

$t=x^{2}-2x$ なので、これを2乗してみます。

$t^{2}=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}$ になりますが、与えられた式の中に居そうですね。

式変形は $x^{2}-2x$ が出てくるようにします。

2次関数の問題は平方完成です。

2.問題を解く方針を考えてみる

$f(x)$ を式変形すると

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+6a(x^{2}-2x)+2\\ &=&t^{2}+6at+2\\ &=&(t+3a)^{2}-9a^{2}+2\end{eqnarray*}$

となります。

$t$ の取りうる値の範囲を求めると

$t=(x-1)^{2}-1$

より $t\geqq -1$ であることがわかります。

$f(x)$ は $t=-3a$ のときに最小値を取りますが、 $t$ のとり得る値の範囲を考慮すると、 $-3a\lt -1$ のときと $-3a\geqq -1$ のときに場合分けをして答えを出します。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1)

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+6a(x^{2}-2x)+2\\ &=&(x^{2}-2x)^{2}+6a(x^{2}-2x)+2\\ &=&t^{2}+6at+2\end{eqnarray*}$

(2) $t=(x-1)^{2}-1$ より $t\geqq -1$

(3) $f(x)=(t+3a)^{2}-9a^{2}+2$ より

$-3a\lt -1$ すなわち $\displaystyle a\gt \frac{1}{3}$ のとき、最小値は $t=-1$ すなわち $x=1$ のとき $-6a+3$ をとる。

$-3a\geqq -1$ すなわち $\displaystyle a\leqq \frac{1}{3}$ のとき、最小値は $t=-3a$ のときにとる。

このとき、 $x^{2}-2x=-3a$ を満たすので、このときの $x$ の値を求めると
$x=1\pm \sqrt{1-3a}$ である。

したがって $f(x)$ は $x=1\pm \sqrt{1-3a}$ のとき最小値 $-9a^{2}+2$ をとる。

まとめ

今回は教員採用試験で出題された2次関数の問題を見てみました。

レベル的には偏差値45〜55あたりの大学くらいでしょうか。

そんなに難しい問題は出ませんので、教員採用試験は難関大学のような難しい問題は解ける必要は無いと思います。

ただ、大学入試の方は最低限このくらいのレベルの問題は解けるようにしておくべきなので、今後も教員採用試験の過去問を紹介していこうと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper