数学の問題を解説してみた。

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入試問題の解き方を考えてみたvol.16【2次関数の入試問題初級編】

入試問題の解き方 2次関数入試問題

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今回は入試問題の解説をしていきたいと思います。

入試問題は様々な単元が複合して出題されることがほとんどですので、ある程度の訓練が必要になるかと思います。

過去問を解く時期まではいろいろな問題と出会って入試問題がどんな感じなのか体感してみてください！

　

今回は2022年度旭川大学経済学部1期で出題された2次関数の入試問題を見ていきたいと思います。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

2次関数のグラフが、 $x$ 軸上の点 $(1,0),\ (3,0)$ と点 $(4,3)$ を通るとき、次の設問に答えよ。

(1)この2次関数の式を求めよ。

(2)この2次関数の頂点の座標を求めよ。

(3)定義域 $-1\leqq x\leqq 1$ において、この2次関数の最小値を求めよ。

(4)原点を通り、この2次関数と接する直線の傾きを求めよ。

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

次のステップで必要な知識を見ていきます。

1.問題文から必要そうな定理や公式があるか？

2次関数の問題を解くうえで必要なものは平方完成です。

参考書にはこんなことが書いてあるかと思います。

2次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ を平方完成すると
$\displaystyle y=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ となるので、この2次関数のグラフの頂点は $\displaystyle \left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right)$ である。

覚えられますかね？

いや、覚える必要は無いですね。

「余計なものを後で引く」という作戦でいくとラクです。

次の例題でどのように考えれば良いかを示してみます。

例題

2次関数 $y=3x^{2}+6x$ のグラフの頂点を求めよ。

例題の解答

先程の公式の前半部分、カッコの終わりまでを覚えておきます。

今回の場合は $a=3,\ b=6,\ c=0$ ですので、 $\displaystyle \frac{b}{2a}=\frac{6}{2\times 3}=1$ となります。

ですので、この式を平方完成すると

$\begin{eqnarray*} 3x^{2}+6x&=&3(x+1)^{2}-3\times 1+0\\ &=&3(x+1)^{2}-3\end{eqnarray*}$

となります。

2.問題を解く方針を考えてみる

(1)2次関数のグラフが $x$ 軸上の2点を通ることがわかっていますので、求めるグラフの式を

$y=a(x-1)(x-3)$

とおきます。

$a$ の値を決めないといけませんが、点 $(4,3)$ を通ることを用いて求めます。

(2)は(1)で求めた式を平方完成します。

(3)はここまでのことを基にして、定義域 $-1\leqq x\leqq 1$ における2次関数の最小値を求めます。

(4)は求める直線が原点を通るので $y=kx$ と置くことができます。

この直線が(1)で求めた2次関数のグラフと接するので、 $x$ の2次方程式

$a(x-1)(x-3)=kx$

の判別式を $D$ とすると、 $D=0$ となるような $k$ の値を求めます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1)求める2次関数の式を $y=a(x-1)(x-3)$ とおく。

この関数のグラフが点 $(4,3)$ を通るので

$3=a(4-1)(4-3)$

したがって、 $3a=3$ が成り立つ。

この方程式を解くと $a=1$ となるので、求める2次関数の式は

$y=x^{2}-4x+3$

(2)(1)で求めた2次関数を平方完成すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4x+3&=&(x-2)^{2}-4+3\\ &=&(x-2)^{2}-1\end{eqnarray*}$

となるので、この2次関数のグラフの頂点は $(2,-1)$

(3)(2)より、 $-1\leqq x\leqq 1$ における2次関数の最小値は、 $x=1$ のとき $0$ をとる。

(4)原点を通る直線の式を $y=kx$ とおく。

この直線と2次関数 $y=x^{2}-4x+3$ との交点の $x$ 座標は次の方程式の解で与えられる。

$x^{2}-4x+3=kx$

この式を整理すると

$x^{2}-(k+4)x+3=0$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D&=&(k+4)^{2}-4\times 1\times 3\\ &=&k^{2}+8k+16-12\\ &=&k^{2}+8k+4\end{eqnarray*}$

直線 $y=kx$ と2次関数 $y=x^{2}-4x+3$ のグラフが接するとき、 $D=0$ であるので、このときの $k$ の値を求めると

$k=-4\pm 2\sqrt{3}$

まとめ

今回は2次関数の入試問題初級編ということで旭川大学2022年度に出題された2次関数の問題を取り扱いました。

2次関数の問題はほとんどお決まりで、最初の方に頂点を求めるか最大・最小を求める問題が設定されているので平方完成が必須となります。

数学Ⅱの微分まで勉強していれば平方完成をしなくても頂点を求めることができますが、そうでない場合（微分を知らない場合）はこのやり方でいかないと仕方ないのかな、と思います。

平方完成が良いのか？微分で頂点を出すのが良いのか？というところは解き手が吟味すべきところなので、どちらが解きやすいかは研究する必要があるかと思いますね。

　

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