マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数と式の節末問題・章末問題vol.9

数と式 教科書の節末・章末問題
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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回は分母の有理化の問題です。

高校で初めて出てくるパターンです。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答までの考え方
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

次の式の分母を有理化せよ。

(1) \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}

(2) \displaystyle \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+2\sqrt{2}}

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

次のステップで必要な知識を見ていきます。

1.問題文から解く方針を考える

分母の有理化ですが、式の分母に無理数が含まれています。

それを解消するのが今回の問題です。

2.使える公式や定理はあるか？

根号の性質

・ (\sqrt{a})^{2}=a

を使います。

中学で習ったパターンは次の形でした。

例題1

次の式の分母を有理化せよ。

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

解く方針

いつも行っている約分は

\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}&=&\frac{1\times 2}{5\times 2}\\ &=&\frac{1}{5}\end{eqnarray*}

のように、分母と分子に同じ因数があれば消していくということをやっていました。

イコールで結ばれている数は等しいので、この計算を逆に辿っていっても問題はありません。

ということは、下のような計算をしても問題ないわけです。

\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}&=&\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{eqnarray*}

これで分母の有理化ができました。

解答

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

しかし、今回のパターンは違います。

例題2

次の式の分母を有理化せよ。

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}

解く方針

例題1と同じ方法でやろうとすると

\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}\\ &=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}\end{eqnarray*}

となるので、分母に無理数が含まれている形が解消されません。

そこで使うのが次の展開公式です。

・ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

つまり、分母にある式の真ん中の符号を入れ替えた式を分母と分子にかけてやります。

そうすると

\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}&=&\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\ &=&\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\\ &=&\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}\\ &=&\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{eqnarray*}

となりますので、分母に無理数がある形が解消されました。

今回の問題のこちらのパターンになりますので、同じように分母の有理化を行います。

解答までの考え方

必要な知識が確認できたら、解答を組み立てていきます。

数学とはいえ、日本語で解答を書きますので不自然にならないような順番にします。

次のステップで考えていくと組み立てやすいです。

1.ゴールを確認する

分母の有理化は「分母を有理数にすること」ということですが、正の整数にすることが理想です。

2.文章の構成を考える

今回は計算問題です。

途中式を書いておくとミスは防げます。

答えだけじゃダメって言われた場合は途中式を書いておけば大丈夫です。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1)

\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}&=&\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{3-5}\\ &=&-\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}\end{eqnarray*}

(2)

\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+2\sqrt{2}}&=&\frac{(2\sqrt{5}+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{8-5}\\ &=&\frac{4\sqrt{10}-10+4-\sqrt{10}}{3}\\ &=&\frac{3\sqrt{10}-6}{3}\\ &=&\frac{3(\sqrt{10}-2)}{3}\\ &=&\sqrt{10}-2\end{eqnarray*}

まとめ

今回の問題は分母の有理化でした。

このような問題は単体では出ませんが、答える際は有理化が求められていますのでやっておかなければいけないところの一つです。

ただ、有理化をしないといけないのは答えを出すときだけで、計算途中は有理化をする必要はありません。

むしろ有理化をしないほうが計算が楽になる場合もありますので、計算段階で分母の有理化をするのは少し考えたほうが良いかもしれません。

　

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