マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年高等学校第2問】

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第2問です。

今回の問題の原文

平面上に $|\vec{a}|=1$ をみたす定点 $A(\vec{a})$ と動点 $P$ がある。 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とするとき、 $\vec{p}$ に関して、ベクトル方程式 $\vec{p}\cdot (\vec{p}-\vec{a})=1$ が成り立つ。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\vec{p}$ はどのような図形を表すか。

(2) $|\vec{p}|$ の取りうる値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

条件を満たすベクトルの大きさを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

条件式を変形していきます。

$\begin{eqnarray*} \vec{p}\cdot (\vec{p}-\vec{a})&=&1\\ |\vec{p}|^{2}-\vec{a}\cdot \vec{p}&=&1\\|\vec{p}|^{2}-\vec{a}\cdot \vec{p}+\frac{|\vec{a}|^{2}}{4}&=&\frac{5}{4}\end{eqnarray*}$

したがって、 $\displaystyle |\vec{p}-\frac{|\vec{a}|}{2}|=\frac{\sqrt{5}}{2}$ となりますので、 $\vec{p}$ は中心が $\displaystyle \frac{\vec{a}}{2}$ を表す点、中心が $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$ の円を表します。

$\vec{p}$ と $\vec{a}$ のなす角を $\theta$ とおくと、条件式から

$|\vec{p}|^{2}-\cos{\theta }|\vec{p}|-1=0$

が得られます。これを $|\vec{p}|$ の2次方程式とみて解くと

$\displaystyle |\vec{p}|=\frac{\cos{\theta }\pm \sqrt{\cos^{2}{\theta }+4}}{2}$

となります。 $\theta$ は実数ですので $-1\leqq \cos{\theta }\leqq 1$ です。したがって、 $[\vec{p}|\geqq 0$ より

$\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leqq |\vec{p}|\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

となります。

いかがだったでしょうか？

条件式の変形が少し難しかったです。

平方完成をするようなものでしょうか。このような考えはベクトルではあまり出てきませんでしたね。

ベクトルの問題でもたまには平方完成が必要だということかもしれません。

　

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