東京女子大学の問題【2017年2日目第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2017年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

難易度は☆☆☆です。

曲線と直線で囲まれる部分の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

直線 $L$ の方程式は $\displaystyle y=-\frac{1}{a}x+1$ ですので、直線 $L$ と曲線 $C$ との交点は

$\displaystyle (x,y)=(a,0),\ \left( \frac{1}{a},1-\frac{1}{a^{2}}\right)$

となります。

直線 $L$ と曲線 $C$ で囲まれる部分の面積は、グラフの位置関係を考えて求めます。

下の図は $a=3$ としたときの直線 $L$ と曲線 $C$ です。

図を見ると、求める部分において曲線 $C$ が直線 $L$ より上側にありますので、面積 $S$ は

$\displaystyle S=\int_{\frac{1}{a}}^{a}(-x^{2}+(a+\frac{1}{a})x-1)dx$

$\displaystyle =\frac{1}{6}\left( a-\frac{1}{a}\right) ^{3}$

となります。

今回の面積を求める問題には文字式を含むので、いわゆる $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式を覚えておいたほうが良いかもしれません。

あの有名な $\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^{3}$ の公式です。

公式や定理は一度証明をしておくと覚えやすいです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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