マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220827

整数の性質入試問題

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今週は東京未来大学2021年の問題＋αの問題です。

今回は第6問です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

整数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)最大公約数と最小公倍数が与えられたときの2数を求める問題です。

この問題は「婚約数」というものを知らなくても解くことができます。

2数 $a$ と $b$ の最大公約数が3ですので、これらは3の倍数です。

したがって、2数はともに3の倍数なので、互いに素な整数 $m$ と $n$ を用いて表すと $a=3m,\ b=3n$ と置くことができます。

最小公倍数が $1200$ なので $mn=400$ ということがわかります。

$400$ を素因数分解すると $400=2^{4}\times 5^{2}$ となります。

$m$ と $n$ が互いに素であることと $a$ と $b$ の大小関係から $m=16,\ n=25$ ということがわかりますので $a=48,\ b=75$ となります。

(2) $a,\ b$ をmで割った余りをそれぞれ $a^{\prime },\ b^{\prime }$ とすると

$a+b\equiv a^{\prime }+b^{\prime }\ (mod\ m),\ ab\equiv a^{\prime }b^{\prime }\ (mod\ m)$

という性質を使って求めます。

$7^{2}\equiv 1\ (mod\ 12)$ ですので $7^{50}=(7^{2})^{25}$ より $7^{50}\equiv 1\ (mod\ 12)$ となります。

また、 $7\equiv 7\ (mod\ 10),\ 7^{2}\equiv 9\ (mod\ 10),\ 7^{3}\equiv 3\ (mod\ 10),\ 7^{4}\equiv 1\ (mod\ 10)$ ですので、指数が4で割った余りで10で割った余りが決まります。

これが $7^{n}$ の1の位になりますので、 $7^{50}=7^{48+2}\equiv 9\ (mod\ 10)$ より $7^{50}$ の1の位は $9$ であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

前半の問題は同じような問題が過去にも出ていたので、解き方を覚えていれば簡単だったかと思います。

後半の問題も割った余りの性質を覚えていればすぐに解けるような問題でした。

　

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