マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220819

2次関数入試問題

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今週は東京未来大学2020年の問題です。

今回は2日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

破いた2次関数のノートの復元を試みる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

条件から $A(-3,-9),\ B(3,-3)$ です。

$AC=4\sqrt{5},\ BC=2\sqrt{2}$ から

$\begin{array}{ccc} (a+3)^{2}+(b+9)^{2}&=&80\\ (a-3)^{2}+(b+3)^{2}&=&8\end{array}$

がなりたっています。ここから $a^{2}$ と $b^{2}$ を消去すると $a+b=0$ が得られます。

したがって、 $a=-b$ となりますので、 $f(x)=k(x-a)^{2}+b$ として表すと $f(x)=k(x+b)^{2}+b$ となります。

$y=f(x)$ のグラフが2点 $A,\ B$ を通ることにより

$\left\{ \begin{array}{ccc} k(b-3)^{2}+b&=&-9\\ k(b+3)^{2}+b&=&-3\end{array}\right.$

が成り立ちます。上式から下式を引くと $12kb=6$ が得られますので、この両辺を12で割れば $kb$ の値が出ます。

直線 $AB$ の傾きは1ですので、頂点を通る直線 $AB$ に平行な直線の式は $y=x-2$ となります。

頂点の座標を $k$ を用いて表すと $\displaystyle \left( -\frac{1}{2k},\frac{1}{2k}\right)$ ですので、次の方程式が成り立ちます。

$\displaystyle \frac{1}{2k}=-\frac{1}{2k}-2$

この方程式を解くと $\displaystyle k=-\frac{1}{2}$ ですので、頂点の座標は $(1,-1)$ であることがわかります。

したがって、この放物線の式は $f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^{2}-1=-\frac{1}{2}x^{2}+x-\frac{3}{2}$ となります。

$x$ の2次方程式 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると $D=-2$ となりますので、放物線 $y=f(x)$ と $x$ 軸との交点は0個になります。

いかがだったでしょうか？

水で濡れてしまって破れたノートを復元するという変わった問題でした。

水で濡れたということは雨でびちゃびちゃになってしまったのでしょうか。

復元するくらいなら友達のノート写すか解きなおしたほうが早そうです。

ああ！バックアップを取るのが一番良いですね！これでいきましょう！

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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