ベクトルの問題ver.20220608 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は鹿児島県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

最短距離を考える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点 $M$ は辺 $BC$ の中点ですので

$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ となります。

したがって $\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

点 $E$ は $\triangle OBC$ と同じ平面上にありますので $\overrightarrow{OE}=t\overrightarrow{OB}+s\overrightarrow{OC}$ と表現することができます。

また、点 $E$ は点 $A$ から $\triangle OBC$ の定める平面に引いた垂線の足ですので $AE$ ⊥ $OB$ かつ $AE$ ⊥ $OC$ であることを手がかりに $t$ と $s$ の値を求めます。

点 $F$ は平面 $\alpha$ に関して点 $A$ と対称な点ですので $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AE}$ …①になります。

一方、 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}$ …②でありますので、①と②から $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}$ で表現します。

ここまでが $AP+PD$ が最小となるときの点 $P$ に対して $\overrightarrow{OP}$ を求める準備になります。

平面 $\alpha$ 上の点 $P$ で $AP+PD$ が最小となるのは、3点 $D,P,F$ が一直線上にあるときです。

したがって $\overrightarrow{DP}=k\overrightarrow{DF}$ となるような実数 $k$ が存在します。

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}$ と $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OD}$ であることを用いて $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}$ で表現します。