三角関数の問題ver.20220429 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は代ゼミ高2模試2012年の過去問です。

今回は第2回で出題された三角関数の問題です。

難易度は☆☆☆です。

よく出る三角関数の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

今回の問題の後半はこちらの類題になるかと思います。ぜひご覧下さい。↓

前半は、相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ を使うことがポイントになります。

$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のとき、条件は $\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\frac{1}{2}$ となりますので、この条件式の両辺を2乗すると

$\displaystyle \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }=\frac{1}{4}$

となります。あとは三角関数の相互関係を使って $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値を導きます。

$\sin{\theta }\cos{\theta }$ を $x$ の式で表すには、ここまでのことと同じようにすると導くことができます。

$\displaystyle \sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{x^{2}-1}{2}\ \cdots (*)$

となります。

$f(\theta )$ は、倍角の公式を使えば

$f(\theta )=2\sin{\theta }\cos{\theta }+2(\sin{\theta }+\cos{\theta })$

となりますので、式 $(*)$ を使って $x$ を用いて表すことができます。次に問題となるのは $x$ のとりうる値の範囲です。

これは、三角関数の合成を使うと

$\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\sqrt{2}\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right)}$

となりますので、 $\theta$ のとりうる値の範囲に注意して $x$ のとりうる値の範囲を求めます。

ここまで来れば、あとは2次関数の最大・最小の問題になります。

$f(\theta )$ は $\theta$ の関数ですので、最大値と最小値を求める際はそのときの $\theta$ の値を求めておく必要があります。

三角関数の分野ではよく目にする問題です。

大学入試だけでなく、教員採用試験でも出題されているようです。

それだけ重要な問題なのか、出題しやすい問題なのか、どちらかわかりませんが、解けておいた方がいい問題であることは間違いなさそうです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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