マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220415

数列入試問題

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今週は数列の入試問題です。

今回は2017年大阪大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数を扱うので少し難しいかもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式の両辺に2を底とする対数をとると

$\log_{2}{a_{n+1}}=\log_{2}{8a_{n}}$

となりますが、右辺は $2\log_{2}{a_{n}}+3$ と変形できますので、数列 $\{ b_{n}\}$ は

$b_{n+1}=2b_{n}+3$

という関係式が成り立ちます。

なお、初項は $b_{1}=1$ ですのでこれらの関係式から一般項 $b_{n}$ を求めることができます。

$P_{n}$ の一般項は、底が2の対数をとると

$\displaystyle \log_{2}{P_{n}}=\sum_{k=1}^{n}\log_{2}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}$

ですので、このことから $\log_{2}{P_{n}}$ を求めます。

$P_{n}＞10^{100}$ をみたす最小の自然数の探し方は、ここでも底が2の対数をとって考えます。

$\log_{2}{10^{100}}$ の値が分かれば良いのですが、底は2で1より大きいので

$\log_{2}{8}(=3)＜\log_{2}{10}＜\log_{2}{16}(=4)$

であることを用いて $\log_{2}{P_{n}}＞100\log_{2}{10}$ をみたす最小のnを探します。

いかがだったでしょうか？

後半の $P_{n}$ を求めるところが難しいかもしれません。

$P_{n}$ が数列 $\{ a_{n}\}$ の初項から第n項までの積になっているので対数をとればどうにかなりそうという発想が無ければこの辺りで手詰まりになる可能性があります。

積を和に直せないか…と考えてみるにも大事かもしれません。

　

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