数列の問題ver.20220411 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は数列の入試問題です。

今回は2018年香川大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

漸化式の問題ですが、誘導が付いていますのでそれほど難しくはないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

漸化式の右辺は $2n^{2}+6n+4=2(n+1)(n+2)$ と因数分解できますので両辺を $(n+1)(n+2)$ で割ります。

$\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}}{n+1}$ の置き換えにより、 $b_{n+1}=3b_{n}+2$ と変形ができます。

あとは2項間漸化式を解いていくだけになります。

2項間漸化式の解き方は、この場合ですと $x=3x+2$ という方程式の解を求めます。

この方程式の解は $x=-1$ となりますので、漸化式は $b_{n+1}+1=3(b_{n}+1)$ と変形ができます。

この関係式は、数列 $\{ b_{n}+1\}$ が公比3の等比数列であることをあらわしていますので、あとは初項が分かれば一般項を出すことができます。

最後は移項をしていって $a_{n}$ を $n$ の式で表します。

置き換えの誘導は大抵の問題にはついていることが多いです。

そうすると教科書でできたような漸化式に話を持っていくことができます。

漸化式の問題は数列の頻出問題の1つなので解き方を覚えておきたいです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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