マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

広島大学の問題ver.20220212

ご訪問ありがとうございます!解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は図形と計量の入試問題です。

今回の問題は2016年広島大学で出題された問題になります。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

前半のACの2乗までは解けるかと思いますが、後半の計算が大変です。

工夫をしないと計算ミスを誘発します。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形の問題ですので、まずは図を描きます。

BCDは∠BCD=60°、∠DBC=90°の直角三角形になりますので、BDの2乗の値は容易に出るかと思います。

ACの2乗を求めることについて考えてみようと思います。

四角形の残りの角を求めてみます。

△ABDは∠DAB=90°の直角二等辺三角形であることと、△BCDの形状から∠CDA=75°、∠ABC=135°であることがわかります。

ACの2乗の値は余弦定理を使って求めますが、∠ABC=135°であることから△ABCに余弦定理を適用させたほうが良さそうです。

あとはABの長さを求めておかないといけませんが、BDの長さが出ていることと△ABDが直角二等辺三角形であることを使ってABの長さを求めます。

ここまでこれば、△ABCに余弦定理を適用させてACの2乗の値を求めます。

後半は前半部をヒントにして計算を進めていきます。

問題文も求めさせているものはすべて「2乗の値」です。

これがどうしてかも考えると方針が見えるかと思います。

△ABCに余弦定理を用いると

 \displaystyle \cos{\alpha }=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}

となります。

この式を見るとACが厄介です。

AC以外は求められていますので、とりあえずAC以外の数値を代入して計算します。すると

 \displaystyle  \cos{\alpha }=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}AC}

ここまでは行きつくかと思います。

ここでポイントになるのは「ACをわざと放置する」ことです。

両辺を2乗すれば求めたいものが左辺、計算すべき右辺には AC^{2}が出てくるので、ここからまた計算を再開すれば良いわけです。

 \cos^{2}{\beta }の値も同様にして求めていきます。

いかがだったでしょうか?

解く方針自体は難しくないですが、計算に工夫が必要な問題でした。

個別指導の塾で講師をやっていますが、ほとんどの人が計算途中でもいちいち数値を出して計算しがちです。

いちいち数値を計算しているとミスを誘発しやすくなりますので、特に分数が含まれている計算では「わざと放置」して楽に計算していく必要がありますね。

結果が出れば問題ないので(特に高校入試では)「わざと放置」して計算することがアリだと思いますよ!

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/