東京大学の問題ver.20220206 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2次方程式シリーズで展開しております。

今日の問題は東京大学2012年の入試で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆くらいです。

筆記だともっと難易度が上がるかと思います。

今回の問題では誘導を付けてあるので難易度を下げて評価しました。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

ひとつひとつの用語に注意が必要です。

「座標平面上の点(x,y)」と言っていますので、xとyはともに実数です。

また、「xの最大値を求めよ」と問題文に書いてあれば、出題ミスが無い限り必ず最大値があります。

最大値を求めるためには関数を作るか不等式を作るかの2択です。

今回の問題の場合は条件式がありますので、ここからxに関する条件を見つけます。

条件式はxに着目してもyに着目しても2次式です。

普段であればxについて整理します。

条件式をxについて整理すると

$2x^{2}+(4y+4)x+3y^{2}+5y-4=0$

となります。

このxの方程式の判別式を $D_{y}$ とすると

$D_{y}=16y^{2}+32y+16-4\times 2(3y^{2}+5y-4)=-8y^{2}-24y+48$

となりますが、これではxの最大値を導き出すことができません。

そこで、見方を変えてyについて整理をしてみます。

そうすると

$3y^{2}+(4x+5)y+2x^{2}+4x-4=0$

となります。

この方程式の判別式を $D_{x}$ とすると

$D_{x}=(4x+5)^{2}-4\times 3(2x^{2}+4x-4)=-8x^{2}-8x+73$

となります。

yが実数であることから、 $D_{x}\geqq 0$ が条件になりますので、あとはこの不等式を満たすようなxを求めればxのとりうる値の最大値を求めることができます。

筆記試験だと「yについて整理する」という発想はなかなか思いつかないかもしれません。

普段からxについての式を扱うことが多いので仕方がないことかと思います。

たまには違う文字に注目して扱うことも大事かもしれませんね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/