マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

京都大学の問題ver.20220108

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!

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今月まではFラン大学の入試問題を解いてみたシリーズ展開中です。

このブログでのFラン大学は

河合塾による難易度予想ランキングでBFが付いている入試方式が1つ以上ある

・BFが付いている大学の全学部および全入試方式の難易度予想ランキングで偏差値が45.0未満

の両方に該当する大学を指します。

今回もFラン大学の問題と比較するために有名な難関大学の問題を見てみます。

今回の問題は京都大学2020年前期日程で出題された場合の数の問題を紹介します。

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・今回の問題について

難易度は☆☆☆☆☆です。

完全順列の知識が必要であることと、数え上げが難しいという点でこのようにしました。

完全順列を言わずに解答する方法もあるようです。

難易度の表記については以下の記事を参照ください。

 

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

 

 

・今回の問題の解説

例に示している並べ方は実際の問題にも記してあった並べ方です。

この並べ方をヒントにして条件に合うような並べ方を考えてみます。

一番上の行の並びが1234となっているときの他の行に入る並び方の候補を考えてみます。

同じ列に同じ数が来ないように並べるので、他の行の並び方は

・1番目には1以外の数

・2番目には2以外の数

・3番目には3以外の数

・4番目には4以外の数

が来るように並べば良いということになります。

これが完全順列の並びです。

長さ4の完全順列は9通りありますが、その9通りの中から問題に合う組合せを探します。

2143、3124、4123

2341、3412、4312

2413、3421、4321

この9通りから条件に合うものを探します。

2アタマ、3アタマ、4アタマでグループ分けをしておくと数え上げるときにわかりやすくなるかと思います。

例えば2143と3421と4312は問題に合う組合せです。

全部で4通りの組合せがありますが、残りの3つは

2143と3412と4321

2341と3412と4123

2413と3142と4321

となります。

次に決まった組合せをどの行に入れるかを考えます。

1234と2143と3421と4312の組合せをどの行に入れても問題に合う並びになりますので、その総数は4!通りあります。

他の組合せのときも同様に考えられますので、ここまでで考えられる問題に合った数の入れ方は4×4!通りです。

1アタマの並びは、残りの2,3,4を並べる総数に等しいのでその総数は3!通りあります。

その各々に対して同様に考えると、問題に合う数の並びの総数は4×4!×3!通りになります。

 

いかがだったでしょうか?

今回の問題では誘導と解説を付けてあるので解く方針は見えるかもしれません。

しかし、実際に出題された問題には一切誘導がついていない状況でした。

初めの第一歩が大変な問題ではないかと思います。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております♪(^^)/