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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！
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今日の問題は四面体に関する問題2問です。
今週いっぱいまではYahoo!知恵袋から拾ってきた問題です。
では、問題です！↓
今回の問題の解説です。
問題文には図が描いてませんが、問題文を元にして図を描くのが図形の問題ではまずすべきことです。
ここでは図は省略します。
［1］の問題はOA,OB,OCが互いに垂直に交わっているので、底面の三角形は直角三角形、高さをOAとすれば
1/3×OA×OB×OC
で体積を出すことができます。
△ABCは2√2の正三角形なので、sin60°=√3/2より面積は2√3になります。
四面体OABCの体積は先程求めましたので、△ABCを底面と見た場合、高さはOHであることからOHの長さを求めることができます。
このような発想は平面図形でもよく使います。
［2］の四面体は底面が正三角形です。
OAとOBとOCの長さが等しいので、この四面体を真上から見ると、Oは△ABCの各頂点から等しい距離にあります。
つまり、点Oから△ABCに下ろした垂線と△ABCの交点をHとすると、このHは△ABCの外心であることがわかります。
さらに、正三角形の外心、内心、垂心、重心はすべて一致しますので、点Hは△ABCの重心であるとも言えます。
したがって、直線AHと辺BCとの交点をDとすると、AH:HD=2:1です。
△ABCが正三角形であることから、AD=√3/2になります。
あとは三平方の定理を使ってOHの長さを求めれば、四面体OABCの体積が求められます。
教科書の節末問題で出そうな問題ですが、このくらいの問題が解けるようになれれば従来のセンター試験の問題や数学Ⅰ・Aが出題範囲の入試問題なら解けるようになっているかと思います。
来週から出題予定ですが、Fラン大学の一般入試問題も解けるかと思います。
是非チャレンジしてみてください！
それでは！またのお越しをお待ちしております♪(^^)/
