信州大学繊維学部の推薦入試の過去問からです。
今回の問題は曲線上の点における接線の方程式とそれらで囲まれた部分の面積を求める問題です。
強いて言うなら図形の問題なので図を描くことが望ましいです。
慣れれば脳内で図を描いて処理してもいいですが、慣れないうちは図を描くことをお勧めします。
図を描かずに解けるよりミスなく解けるほうがカッコいいですからね。
まずは接線を求めなければいけません。
接線を求める手順は
１．導関数を求める
２．微分係数を求めて直線の傾きを出す
３．接線の公式y=f'(t)(x-t)+f(t)に当てはめる
曲線上の点が与えられているので、tがｰ2のときと4のときを当てはめればいいだけですね。
接線が求められたら次は面積を求めます。
図を描けばわかりますが、2つの接線の交点を求めないといけません。
あとは放物線と直線の上下関係を見ます。
面積を求める手順は
１．2つの曲線（直線含む）の交点を調べる
２．途中で曲線が変わっていないかを調べる
３．2つの曲線の上下関係を見る
４．∫{(上の曲線の方程式)－(下の曲線の方程式)}dx
2つの接線の交点を調べるのは、上の手順の２を行うためです。
図を描けば３までは見えてきます。
これでこの問題は完了です。
必ずどの大学でも出されているといっても過言ではありません。
出ないとすれば数学Ⅱが範囲外になっているというくらいでしょうか。
来週は「センター試験に出そうな問題を作ってみた数学ⅠA編」です。
