よく出る条件式からの最大最小を求める問題です。
扱う関数が3次関数なので、導関数を求めて増減を調べる必要があります。
xとyの値に制限があるので、そこにも注意したいところですね。
解く方針は条件式から1文字消去してx^{2}yをxだけもしくはyだけの式にします。
いずれにしても3次の多項式の形になります。
3次関数になりますので、導関数を求めて元の関数の増減を調べます。
増減がわかれば、どこで最大・最小をとるかを調べます。
微分の問題はほぼパターンが決まっています。
接線を求めるか増減を調べるかの2つです。
どちらにせよ導関数は求めなくてはいけません。
今回は増減を調べるパターンで、手順は以下の通りです。
2.導関数の値が0になるxの値を求める。
3.2.を基に導関数の符号を調べる。
4.増減表を書く。
ほかの関数の場合でも使うことができますが、関数の増減を調べたいときはこの手順で調べます。
最大値、最小値をとる候補は極値をとる点か端点かのどれかです。
なので、増減を調べるときは必ず端点の値と極値の値を求めておきます。
最大・最小の問題以外にも、方程式の解の個数を求める問題や、昨日の極値を求める問題、グラフを描く問題でも増減表を書いておく必要があります。
接線以外の微分の問題で増減表を書かないことはほとんどないので、関数の増減表は書けるようにしておきたいですね。