今回は島根県立大学の過去問からです。 探せば出てくるもんです。 おそらく教員採用試験の過去問を漁ってもこんな問題が出てくるんじゃないでしょうか。 円に内接する四角形の問題はほぼ四角形の面積を求めるのが目標です。 先日紹介したブラーマグプタの公…

今週は大学入試の過去問から出題です。 今日は岡山県立大学の過去問からです。 テーマは円に内接する四角形です。 円に内接する四角形は向かい合う角の和が180°であることが特徴です。 四角形のある角度をθとすれば、向かい合う角のcosの値は-cosθになります…

昨日までの問題の応用問題ですね。 最終的には三角形OQRの面積の最大値を求めます。 もちろん、そのときのθの値も求めないといけません。 図形の問題は図を描くと方針が見えてきます。 なぜ(1)のような置き方をするのかまで見えるかと思います。 三角形の面…

今日は対数関数を置き換えるパターンです。 条件付の関数の最大・最小の問題ですので前置きがありますが、最大と最小を求める手順は昨日までの問題と同じです。 (1)で条件からlogxだけの式にします。 (2)からは昨日までの問題の手順を踏んでいきます。 １．…

今日の問題は指数関数を置き換えるパターンです。 昨日とは少し違います。 今回は相加平均と相乗平均の関係を使います。 この関係を使うときは扱いに注意が必要です。 問題と順番が違いますが、解き方の手順は昨日までの問題と同じです。 １．適当なものをt…

今日は指数関数を置き換えるパターンです。 問題文で誘導を付けているので、簡単だと思います。 気を付けておかないといけないのはtのとりうる値の範囲です。 これは指数関数の性質を理解できていないと求められません。 今週のテーマは「置き換えで3次関数…

今日は三角関数の加法定理（三角関数の合成の公式）を使うパターンです。 tのおき方は指定されているので、tをつかってsin2xを表せないかを考えます。 倍角の公式を使えば求まりそうですね。 今日は丁寧にいきたいと思います。 今週の問題の解き方は次の手順…

今回は三角関数を置き換えるパターンです。 この手の問題は大学入試の小問集合で出そうですね。 このままの形でも最大値と最小値が求めりそうですが、数学Ⅲの知識が必要だし、計算も大変そうです。 関数を文字で置き換えるやり方だとそこまで知識がなくても…

今週のテーマは「置き換えで３次関数」です。 解き方は先週の「置き換えで２次関数」の場合と途中まで同じです。 増減を調べたり、最大・最小を求めるときに違う方法で解きます。 (1)のような置き換えで３次関数になる場合は、次の手順での解き方になります…

今日の問題は、対数関数の真数が２次関数になっているタイプです。 昨日までの問題とは少し違います。 対数関数で気を付けないといけないところは、真数条件と底、対数関数の性質です。 この問題の解く手順は次のようになります。 １．真数をみる。 ２．真数…

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11192727846 ↑ここで回答した問題です。 円に内接する四角形に関する問題です。 参考図 この質問の意図はこの問題をブラーマグプタの公式を使った解き方を考えられないか、というものでした。 先…

今日は対数関数の問題です。 ２次関数が見えそうな問題ですね。 なんか、あからさまな感じがします。 今回は対数関数の性質に注意して解きます。 対数関数には真数条件がありました。 真数は必ず正の数をとります。 関数を見ると、真数条件はx>0です。 定義…

昨日とは違うタイプの指数関数の問題です。 難しそうに見えますが、tをこのようにおけば解決できます。 解く方針は昨日までの問題と同じです。 １．適当なものをとおく。 ２．tのとりうる値の範囲を確認する。 ３．元の関数をtで表す。 ４．平方完成 ５．２…

今日は指数関数の問題です。 誘導があるので簡単かと思います。 手順は昨日までの三角関数のときとほとんど同じです。 解き方は以下の通りでした。 １．適当なものをtとおく。 ２．tのとりうる値の範囲を確認する。 ３．元の関数をtで表す。 ４．平方完成 ５…

教員採用試験対策用の問題集に載っていた問題です。 ということは、教員採用試験でもこういう問題が出るんですね。 大学入試に出てもおかしくなさそう。 問題の解く手順は １．適当なものをtとおく。 ２．tのとりうる値の範囲を確認する。 ３．元の関数をtで…

この問題におけるxの範囲は-π/2

今日からは試験によく出そうな問題を1週間徹底的に考察していきたいと思います。 その1発目は2次関数に帰着できる関数の最大値と最小値の問題です。 今回の問題の形は2次関数と2次関数の合成関数です。 大学入試ではあまり見られませんが、教員採用試験では…

去年の大阪大学の入試で出題された問題です。 一見簡単そうに見えましたが、解いてみると意外と難しかったです。 条件式が二つ与えられていますが、文字を二つ消すためのものだったんですね。 解き方は問題文で誘導しているので、解けないことはないと思いま…

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14174628144 ↑こちらで回答した問題です。 ここで質問された問題はこちらです。 回答する前は少し難しそうだと思いましたので、チャレンジして無理そうならやめようと思いました。 単純に考えれ…

今日は接線を求める問題と面積を求める問題です。 面積といえば積分ですね。 高校では積分は微分の逆演算だと習います。 そう教えておかないと大変ですもんね…。 積分をきっちり、全員が理解できるまで教えるとなると1年かかっちゃうかもしれません。 そのく…

今日は3次方程式の解の個数を調べる問題です。 グラフを描けば一目瞭然なので、増減を調べてグラフを描きます。 増減を調べるので、もちろん増減表を書きます。 そのためには微分して導関数を求めないといけませんでした。 手順は昨日お話しした通りです。 …

よく出る条件式からの最大最小を求める問題です。 扱う関数が３次関数なので、導関数を求めて増減を調べる必要があります。 xとyの値に制限があるので、そこにも注意したいところですね。 解く方針は条件式から１文字消去してx^{2}yをxだけもしくはyだけの式…

今日は極値に関する問題です。 極値を求めるためには導関数を求めておくことが必要になります。 そして、その導関数の符号をみます。 正であれば増加、負であれば減少です。 増加から減少に変わる値が極値です。 今回の場合、導関数が２次関数なので導関数の…

今日は接線を求める問題です。 微分の問題といえばこれか極値の問題でしょうか。 微分の定義はよく見ると中学で習った「変化の割合」が出てきます。 中学で習ったのは平均変化率と呼ばれています。 それに対して微分で習うのは瞬間変化率(＝微分係数)です。 …

今週は微分積分の考えがテーマです。 問題は日曜日以外は４STEPから出題です。 数学Ⅱでは3次までの多項式関数しか扱わないので、多項式関数の導関数が導けるかが重要かと思います。 この問題の解く方針はf(x)=ax^{2}+bx+cとおいて左辺を計算します。 この等…

今日は昨年度の長野県の教員採用試験の問題です。 方程式と絡んでますが、2^x=tとおくとt>0であることに注意が必要です。 このような問題の最初には「方程式が異なる2つの実数解をもつaの範囲を求めよ」とかいう問題が出るかと思います。 指数関数の値の範囲…

山口大学の過去の問題からです。 対数を変形してｙについての不等式を求めて図示するとわかりやすくなるかと思います。 対数が出ているので、真数条件は忘れないように注意してください。 対数の基本的な性質は ・logXY=logX+logY ・log(X/Y)=logX-logY ・lo…

常用対数を使って、大きい数の桁数や小数の０以外の数が初めて現れる場所を調べる問題です。 常用対数の値は近似値で与えられています。 自力で求めるのは無理なので、問題集、試験や入試の問題で必要な場合は常用対数表か必要な常用対数の値が与えられてい…

今回は対数関数の最大・最小の問題です。 tの2次関数に帰着できるので、ほぼ数学Ⅰの問題ですね。 今回出てきた対数関数は底が10です。 底が10の対数を常用対数と呼んでいます。 常用対数は大きい数の桁数を求めたりするときに使います。 具体的な使い方は明…

今日は対数関数の方程式の問題です。 対数関数の基本的な性質をおさえられているかどうかがキーポイントになる問題ですね。 ・logXY=logX+logY ・log(X^n)=nlogX ・log(X/Y)=logX-logY がおさえられているかです。 ただし、底は正数で1でないものとします。 …