今日は神奈川大学の過去問です。 昨日よりは簡単かな？と思います。 よく出るパターンの三角関数の問題です。 解く方針はcosかsinに統一させることを考えます。 統一させるときは加法定理、合成や相互関係を使います。 これらを覚えていないと手詰まりです。…

今日は京都大学の過去問からです。 cosnθ=f(cosθ)を満たす多項式f(x)をチェビシェフ多項式と言います。 これを使った問題です。 解き方は最初にn=5のときのチェビシェフ多項式を出します。 次にcos{(2n-1)π/2}=0であることを使って4次方程式の解と係数の関係…

今日も三角関数の置き換えの問題です。 このタイプの問題は置き換えが指定されているので、気分的に楽かもしれませんね。 あとは合成です。 関数がsinとcosの対称式になっています。 対称式は基本対称式を使って表すことができます。 ということは、基本対称…

関数の最大値と最小値の問題です。 このような問題は三角関数の相互関係や加法定理(倍角の公式)を使ってcosかsinに統一させます。 あとは2次関数になるので、2次関数の最大と最小を求める問題になります。 三角関数の取りうる範囲に注意すればあとは簡単です…

また長くなってしまいました。 今日は三角関数の加法定理の証明です。 教科書にも同じ内容が載っています。 加法定理の証明は過去に東京大学の入試で出たみたいですね。 定理や公式の証明は入試に出たりするので、自分で証明してみるのも損ではないと思いま…

模試の過去問シリーズ19回目はベクトルの問題です。 内積を求めるのはお決まりパターンでしょうか。 垂直に交わる＝内積が0ということを使えば、(2)は出るのではないでしょうか。 模試や入試などの問題を解くときはざっと問題文に目を通します。 マーク式の…

今週は三角関数です。 基本的な性質は数学Iの図形と計量で習います。 考える範囲が拡がっただけです。 θの範囲を制限するのは方程式や不等式の解が無数に出てしまうためです。 三角関数の値は単位円を用いて考えるので、円1周の角度2πで制限します。 三角関…

今日は群数列の問題です。 大学に入試問題でもよく出ます。 この問題は神戸市の教員採用試験の過去問です。 自治体によってはホームページから過去問を見ることができます。 数学の専門科目の問題ですが、難易度は私立大学くらいです。 とは言っても、1問は…

高崎経済大学の過去問です。 入試問題は漸化式を作る問題がやはり多いですね。 いくらでも考えられるのでしょうか。 どんな問題もそうですが、試験問題は１つの問題に必要な知識が多いです。 今回の問題は中点の座標の求め方と漸化式の立て方、漸化式から一…

数列の和から一般項を求める問題です。 こんどは数列Sの階差数列を求めるということになります。 S[1]=a[1]であることを使って数列aの初項を求めます。 その次に一般項を求めます。 S[n+1]-S[n]=a[n+1]であることを使えば数列aの漸化式が出ます。 漸化式が出…

またしても漸化式の問題です。 昨日とはタイプが違います。 階差数列をとると等比数列の漸化式になるタイプの漸化式です。 数列bのように置き換えた数列の初項を求める時は注意が必要です。 n=1とすると、b[1]を求めるのにa[1]とa[2]が必要です。 あとは階差…

今日は漸化式の問題です。 基本的な等差数列と等比数列の漸化式です。 教科書の問題ですが、あまりにも簡単すぎて面白くないので少し手を加えました。 こういうタイプの問題は入試で出そうですね。 模試に出てもおかしくないですよ。 最後の和は項の番号を3…

今日は階差数列の問題です。 何回か階差数列をとると等差数列か等比数列になります。 今回の場合は2回階差数列をとると等差数列になります。 等差数列になるまで階差数列をとったら、今度は逆の操作をします。 階差数列の和を取るんですね。 そうすると階差…

今日から数列の問題です。 個人的に得意なやつです。（笑） 等差数列と等比数列が混ざった問題でよくあるやつです。 方針は初項がわかっているので、与えられた条件から等差数列の公差と等比数列の公比を求めます。 数列の和は項が10個なので足し算してもい…

今日は甲南大学の過去問からです。 後半で求めるのは外接円ではなく、内接円です。 内接円は三角形の3つの辺に接するのでした。 (1)は3つの直線の交点の座標を求めれば簡単です。 記述でもそうですが、解き方は何でもいいです。 図形と方程式の問題だからと…

今日も軌跡を求める問題です。 軌跡を求める手順は動く点を求めるか、動く値を消すかです。 この問題は動く値を消す方が計算は楽です。 mをxとyを用いて表します。 そして、それをもう一つの式に代入します。 2次式になるので、だいたいは放物線か円になりま…

軌跡を求める問題です。 何の軌跡を求めるかを問題文をよく読んで把握します。 aの値には条件があるので、それに注意が必要です。 放物線が出ているので、2次関数の知識が必要です。 x軸と異なる２つの点で交わるので、判別式は正です。 この条件下でaの値が…

今日は２つの円の共通接線がテーマです。 片方の円の接線がもう片方の円に接していればいいということですね。 なので、一方の円の円周上のどこかの点を通る他方の円の接線を求めればいいです。 中心が原点、半径rの円の円周上の点(a,b)を通る円の接線の方程…

模試の過去問シリーズ18回目は図形と計量からです！ おそらく来月が進研模試じゃないでしょうか。 模試は「模擬試験」ということですので、いい点を取るよりも自分の不足している部分を分析することを重きに置くべきと思います。 いい点を取りたい気持ちはわ…

２つの円に関する問題です。 メインテーマは２つの円の交点を通る直線と円です。 平面上の図形は一般にf(x,y)=0と表されます。 ２つの図形f(x,y)=0とg(x,y)=0の交点を通る図形の方程式は、実数kを用いて f(x,y)+kg(x,y)=0 と表されます。 具体的な図形の決定…

3点から三角形の面積を求める問題です。 ベクトルを使っても解けますし、数学Iだけの知識でも解ける問題です。 2点間の距離は図に描いて三平方の定理を使えば出せます。 それをわざわざ直線と点の距離の公式を使って求めるということですね。 方針はどの3点…

今回は図形と方程式の直線に関する問題です。 受験対策用の問題集からで、流通科学大学の過去問だそうです。 計算が少し大変でした。 直線に関する基本事項を押さえてあれば解ける問題ですね。 (1)はkの恒等式だと思うとすぐです。 「kの値に関係なく」がヒ…

福井県の教員採用試験の過去問からです。 外積の知識が必要です。 けど、高校生でも解けないことはないです。 (1)は平行四辺形の面積の出し方を考えればすぐです。 sinさえ出れば解けそうです。 ベクトルの成分が与えられているので、内積からの三角比の相互…

筑波大学の過去問からです。 ベクトルの分解ができるかがポイントでしょうか。 与えられた条件をうまく使えばスラスラいけるかと思います。 (2)の元の問題は「点Hは三角形ABCの「イ」であることを示せ。」なので、ちょっと難易度が上がったかも。 内積を使う…

3次元の直線、平面、球面の方程式に関する基本事項をまとめてみました。 直線のことは高校では習わないかもしれません。 大学に入ると線形代数で勉強するかもしれません。 球面は高校の教科書に載っているのでこれは理解したほうがいいです。 こう、世界史み…

模試の過去問シリーズ第17回目は三角関数の問題です。 数学IIの問題なので、少し難しいかなぁ？ 方針はθとその時のyの値が与えられているので、そこからkの値を定めます。 次に、加法定理を使ってr sin(θ+α)の形にします。 そうするとyの最大と最小が求めら…

よく出る四面体の問題です。 今日の問題も昨日と同じように点が与えられているので、それを元にベクトルの成分を求めます。 あとは流れですね。 問題の流れとしては、まず底面積である三角形の面積を求めます。 そのあと高さを求めて体積を出します。 小学校…

座標空間上の三角形の面積を求める問題です。 点が与えられているので、そこからベクトルの成分を出します。 基本は終点から始点を引くってやればいいかな。 例えばBC=(1,-1,2)です。 ベクトルの成分さえ出てしまえば大きさはすぐですね。 内積もあっという…

２つのベクトルに垂直なベクトルを求める問題です。 外積を知っていれば一発なんだけどなぁ。 知らなければ地道に連立方程式を立てるしかないです。 d=(x,y,z)と置いてbとdの内積、cとdの内積とdの大きさから連立方程式を立てます。 「bとc両方に垂直で大き…

今週は空間ベクトルをテーマにやっていきます。 図形と方程式って昨日言ったんですけど、先に空間ベクトルの問題を作っていたの忘れてました。 図形と方程式は来週するので2週間図形の問題です。 そして、サボり癖が発動しました。｡ﾟ(ﾟ´ω`ﾟ)ﾟ｡ 明日からちゃ…